$\operatorname{div}f=\nabla\cdot f$

= 벡터장의 발산?

델,del,나블라,nabla와 내적,inner_product을 했으므로 결과가 항상 scalar?

내적은 아니라 or 내적과는 유사하긴 하지만 다르다 하는데. CHK

벡터장,vector_field의 발산 결과는 스칼라장,scalar_field임.

벡터장 F 에 대해 div F를 발산함수라 한다는데(수학백과) 이것도 divergence function 찾아보면 굳이 외국에선 이름지어 부르지 않는 듯 한데... (delme)

$\operatorname{div}\vec{v}=\nabla\cdot\vec{v}=\frac{\partial v_1}{x_1}+\cdots+\frac{\partial v_n}{x_n}$

장의 원천점에서 양이고 싱크점(sink)에서 음, 그 외에서는 0? (Sadiku)

3차원 cartesian의 예를 들면, 벡터장 $\vec{F}(x,y,z)=F_x(x,y,z)\hat{x}+F_y(x,y,z)\hat{y}+F_z(x,y,z)\hat{z}$ 이면
$\operatorname{div}\vec{F}=\nabla\cdot\vec{F}$

$=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot(F_x,F_y,F_z)$
$=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$

i.e.

$\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$

cyli

sphe TBW

∇·v>0 : divergence : field가 밖으로 뻗어 나감
∇·v<0 : convergence : field가 안으로 모여듦

1. Zill ¶

벡터장,vector_field $\vec{F}=P\hat{\rm i}+Q\hat{\rm j}+R\hat{\rm k}$ 의 발산(divergence)은 스칼라함수,scalar_function

$\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

이다. 델 연산자(델,del,나블라,nabla)를 사용하면

$\operatorname{div}\vec{F}=\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}P(x,y,z)+\frac{\partial}{\partial y}Q(x,y,z)+\frac{\partial}{\partial z}R(x,y,z)$

로 나타낼 수 있다.

(Zill 6e ko 정의 9.7.2 p638)

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2. ex ¶

incompressible fluid flow에서는 모든 점에서 divF = 0
(유체역학,fluid_mechanics)

전기장의 발산

$\operatorname{div}\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$
div(전기장세기,electric_field_intensity) = 부피전하밀도,charge_density / 진공유전율,permittivity

자기장의 발산

$\operatorname{div}\vec{B}=0$
div 자속밀도,magnetic_flux_density = 0
즉 B는 incompressible flow 형태

(맥스웰_방정식,Maxwell_equation > 가우스_법칙,Gauss_s_law)

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3. Sadiku 3.6 ¶

폐곡면 S로부터 밖으로 유출되는 벡터장 $\vec{A}$ 의 순 선속은 적분 $\textstyle\oint\vec{A}\cdot d\vec{S}$ 를 이용하여 구할 수 있다. (see 선적분,line_integral의 Sadiku 3.3) $\vec{A}$ 의 발산은 폐증분면(closed xxxx surface?)에 대한 단위체적당 밖으로 유출되는 선속,flux으로 정의된다.

점 P에서 $\vec{A}$ 의 발산은 체적이 점 P 근처로 줄어들 때 단위체적당 밖으로 유출되는 선속이다.

그러므로

$\operatorname{div}\vec{A}=\nabla\cdot\vec{A}=\lim_{\Delta v\to 0}\frac{\textstyle\oint_S\vec{A}\cdot d\vec{S}}{\Delta v}$

여기서

$\Delta v$ : P가 위치한 폐곡면 S에 의해 둘러싸인 체적

물리적 의미: 주어진 점에서 벡터장 $\vec{A}$ 의 발산은 그 점에서 장이 얼마나 많이 발산하거나 퍼지는지를 뜻함

직각좌표계에서

$\nabla\cdot\vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$

원통좌표계에서

$\nabla\cdot\vec{A}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho A_{\rho})+\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{\phi}}{\partial \phi}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$

구좌표계에서

$\nabla\cdot\vec{A}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 A_r)+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(A_{\theta} \sin\theta)+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_{\phi}}{\partial\phi}$

특성 생략
발산정리 생략

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4. 정길수 ¶

벡터 $\vec{A}$ 가 $x, y, z$ 축 방향성분으로 각각 $A_x,A_y,A_z$ 를 갖는다면

$\vec{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}+A_z\hat{k}$

로 쓸 수 있다. 이 벡터가 전 공간으로 발산할 때 x축으로 변화한 비율은 $A_x$ 가 x에 대해 변화한 것이므로

$\frac{\partial A_x}{\partial x}$

로 쓸 수 있다. 즉 변화한 비율이라는 것은 도함수

$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{A_x(x+\Delta x)-A_x(x)}{\Delta x}=\frac{dA_x(x)}{dx}$

를 뜻하므로 다변수 $x, y, z$ 에 대해서는 편미분을 이용하여 x축 변화율 $\textstyle\frac{\partial A_x}{\partial x}$ 로 쓸 수 있다. 마찬가지로 y축으로 발산하여 변화한 비율은 $\textstyle\frac{\partial A_y}{\partial y}$ 이고 z축에 대한 변화 비율은 $\textstyle\frac{\partial A_z}{\partial z}$ 이다.

그러므로 체적 $\Delta v(=\Delta x\Delta y\Delta z)$ 에 대해 $\vec{A}$ 가

x축으로 발산한 발산량(변화량)은 $\frac{\partial A_x}{\partial x}\Delta v$ 이고,
y축으로 발산한 발산량은 $\frac{\partial A_y}{\partial y}\Delta v$ 이고,
z축으로 발산한 발산량은 $\frac{\partial A_z}{\partial z}\Delta v$ 이다.

그러므로 $x,y,z$ 방향으로 발산한 벡터 $\vec{A}$ 의 총발산량은 각 방향으로의 발산량을 합한 것과 같으므로

$\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)\Delta v$

여기서 $\Delta v=1$ 로 놓으면

$\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$
$=\left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)\cdot(A_x\hat{i}+A_y\hat{j}+A_z\hat{k})$
$=\nabla\cdot\vec{A}$
$=\operatorname{div}\vec{A}$

이것을 발산이라 하고 $\Delta v=1$ 은 단위체적을 뜻하므로 단위체적에서 발산하는 것(전기력선 수, 유체의 유출량 등)을 뜻한다.

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5. ysi (전자기학) ¶

먼저

$\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z} \approx \frac{\oint\vec{D}\cdot d\vec{s}}{\Delta v} \approx \rho_v$

여기서 $\Delta v\to 0$ 극한을 취하면 approx가 =로 된다.

전속밀도,electric_flux_density의 발산이란,

$\text{div}\vec{D}=\lim_{\Delta v\to 0}\frac{\oint\vec{D}\cdot d\vec{s}}{\Delta v}$ (정의)

$=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}$ (결과)
$=\rho_v$ (원인)

// 이하 4강

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5.1. 좌표계 별 발산 ¶

직각

$\textrm{div}\vec{D}=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}$

원통

$\operatorname{div}\vec{D}=\frac{\partial}{\rho \partial \rho} (\rho D_{\rho}) + \frac{\partial D_{\phi}}{\rho \partial \phi} + \frac{\partial D_z}{\partial z}$ 왜 이렇게 rho를 썼다가 cancel하는지 잘 이해 못함 CHK

$=\frac{\partial D_{\rho}}{\partial \rho} + \frac{\partial D_{\phi}}{\rho \partial \phi} + \frac{\partial D_z}{\partial z}$

구면

$\text{div}\vec{D}=\frac{\partial }{r^2 \partial r}(r^2 D_r) + \frac{\partial}{r\sin\theta\partial\theta}(\sin\theta D_{\theta}) + \frac{\partial D_{\phi}}{r\sin\theta \partial \phi}$

// 발산정리,divergence_theorem (4강 38m)
가우스_법칙,Gauss_s_law#s-9에서 양변을 체적 $\Delta v$ 로 나누면

$\frac{\oint \vec{D}\cdot d\vec{S}}{\Delta v}=\frac{Q_{total}}{\Delta v}$

극한 $\Delta v\to 0$ 를 취하면, 위 발산의 정의에 의해

$\nabla\cdot\vec{D}=\rho_v$

또...

$\oint\vec{D}\cdot d\vec{S}=Q_{total}=\int \rho_v dv=\int \nabla\cdot\vec{D} dv$

따라서

$\oint\vec{D}\cdot d\vec{S}=\int \nabla\cdot\vec{D} dv$
(D를 표면적에 대해 면적분) = (D의 발산의 체적적분)
왼쪽은 이중적분,double_integral, 오른쪽은 삼중적분,triple_integral

DELME 예제
{
$\vec{D}=2xy\vec{a_x}+x^2\vec{a_y}$ 이면
$\Psi=\int\vec{D}\cdot\vec{ds}=?$
$\oint\vec{D}\cdot\vec{ds}=?$
$\int\nabla\cdot\vec{D} dv=?$
x는 0~1, $(x\in[0,1])$ y는 0~2, z는 0~3
즉 직접 확인해봐라는 문제.
참고로 이 문제는 체적적분이 면적분보다 쉽다.

Sol.

$\nabla\cdot\vec{D}=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}$

$=\frac{\partial}{\partial x}2xy+\frac{\partial}{\partial y}x^2+\frac{\partial}{\partial z}0$
$=2y$
$(=\rho_v)$

$\int\nabla\cdot\vec{D}dv=\int\nolimits_{z=0}^{3}\int\nolimits_{y=0}^{2}\int\nolimits_{x=0}^{1}2y\,dxdydz$

$=1[y^2]_0^2(3)=12$ (C) 이게 내부에 존재...

그럼 확인을.

$\oint\vec{D}\cdot\vec{ds}=\int_{front\atop x=1}+\int_{back\atop x=0}+\int_{left\atop y=0}+\int_{right\atop y=2}+\int_{up\atop z=3}+\int_{down\atop z=0}$

$=\iint(2y\vec{a_x}+\vec{a_y})\cdot...$

(여기서 잠시 이것을 언급: $\int_{x=0}^1 \vec{A}\cdot dx \vec{a_x}=B$ 라면 $\int_{x=1}^0 \vec{A}\cdot dx \vec{a_x}=-B$ )

$=\int_{z=0}^{3}\int_{y=0}^{2}(2y\vec{a_x}+\vec{a_y})\cdot(dydz\vec{a_x})$

$+\int_{z=0}^3\int_{y=0}^2\vec{0}\cdot(-dydz\vec{a_x})$
$+\int_{z=0}^{3}\int_{x=0}^{1} x^2 \vec{a_y} \cdot (-dxdz\vec{a_y})$ //좌면
$+\int_{z=0}^3\int_{x=0}^1 (4x\vec{a_x}+x^2\vec{a_y})\cdot dxdz\vec{a_y}$ //우면
$+\int_{}^{}\int_{}^{} (2xy\vec{a_x}+x^2\vec{a_y})\cdot dxdy\vec{a_z}$ //위 : 왼쪽에 z성분이 없으므로 0
$+\int\int(2xy\vec{a_x}+x^2\vec{a_y})\cdot(dydx\vec{a_z})$ // 아래: 역시 0