부분공간,subspace

벡터공간의 부분집합,subset이 벡터공간의 성질을 가질 경우(...의 공리를 모두 만족할 경우) 부분공간이라고 불러주는 것? chk

대충: (벡터공간,vector_space의 부분집합이?) 두 가지 조건 - vector_addition에 대해 닫혀 있고, scalar배에 대해 닫혀 있으면 부분공간.

정의:
집합 V를 벡터공간이라 하고 W(≠0)를 V의 부분집합이라 하자.
이 때, 벡터공간 V에서 정의된 덧셈과 스칼라배에 관하여 W가 벡터공간을 이룰 때,
W를 V의 부분공간(subspace)이라고 한다.

정의 (Zill Defintion 7.6.2)
If a subset $W$ of a vector space $V$ is itself a vector space under the operations of vector addition and scalar multiplication defined on $V,$ then $W$ is called a subspace of $V.$
벡터공간 $V$ 의 부분집합 $W$ 가 그 자체로 $V$ 위에서 정의된 벡터 덧셈과 스칼라곱에 대하여 벡터공간이 되면, $W$ 를 $V$ 의 부분공간이라 한다. (ko)

모든 벡터공간 $V$ 는 적어도 두 부분공간을 가진다.
  1. $V$ 자체
  2. zero subspace $\left{\vec{0}\right}$ ...이건 명백히 영공간,null_space과 다름. btw, QQQ 영부분공간,zero_subspace라는 페이지 만들 필요 있나 없나?
    이건 스칼라배에 대해 닫혀있어야 하므로 - 따라서 0의 곱셈에 대해서도 닫혀있어야 하므로 - 자명하게 나오는 성질? ... 정의 중 하나인지 아님 성질인지? chk

선형독립,linear_independence과 밀접.

QQQ linear_subspace와 정확히? subspace의 일종이 linear_subspace인지, 아님 항상 동의어인지, 아님 linalg 범위 내에서는 항상 동의어이고 밖에선 다를 수 있는 것인지, ... curr see WpEn:Linear_subspace Google:Linear subspace




비교:
부분집합,subset
{
집합,set : 부분집합,subset과
공간,space : 부분공간,subspace의
2x2 비교표를 만들면 도움이 되나? - or 삭제무방
}

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1. 정의

정의 ([http]최도훈 3강 10m)
V는 벡터공간
W는 V의 부분집합이며, 공집합은 아님 (W⊂V, W≠∅)
여기서 W가 V의 부분공간이라고 하려면, W도 벡터공간이어야 한다.
(생각) 그럼 대충 이런듯. 부분공간이란,
  • 벡터공간의 부분집합
  • 공집합은 아님
  • 그 자체로도 벡터공간이어야 함
W is a subspace of V iff W satisfies
① u,v ∈ W ⇒ u+v ∈ W
② c scalar, u ∈ W ⇒ cu ∈ W
부분공간의 판정 기준
벡터공간,vector_space V의 공집합,empty_set이 아닌 부분집합,subset W가 부분공간이 되기 위한 필요충분조건은 W가 V에서 정의된 벡터 덧셈과 스칼라곱에 대해 닫혀 있을 때이다.
  1. x와 y가 W 안에 있을 때 x+y도 W 안에 있다.
  2. x가 W 안에 있고, k가 임의의 스칼라이면, kx는 W 안에 있다.
(Zill 6e ko 정리 7.6.1 p441)
(차원,dimension, 기저,basis, 생성,span을 설명하고 바로 뒤에)
벡터공간 V의 공집합이 아닌 부분집합으로, 그 자체가 벡터공간인 경우 (V에서 정의된 덧셈과 스칼라곱을 가지고), 이를 벡터공간 V의 부분공간(subspace)이라고 한다.
(Kreyszig 7.4 벡터공간)

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2. 설명

예 (최도훈)
W5 : the vector space of all functions on [0,1]
W4 : the set of all integrable functions on [0,1]
W3 : the set of all continuous functions on [0,1]
W2 : the set of all differentiable functions on [0,1]
W1 : the set of all polynomials on [0,1]
여기서, W5 ⊃ W4 ⊃ W3 ⊃ W2 ⊃ W1이라고.

Thm.
V : 한 벡터공간
U and W : V의 부분공간
⇒
U ∩ W 는 V의 부분공간
즉 subspace의 교집합은 다시 subspace. (증명은 어렵지 않다는데 생략, 찾으려면 see 소스)

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3. 이하 인터넷 페이지들 요약 CHK MERGE DELME


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3.1. Khan Academy: Lin Alg: Linear Subspaces

V subspace of ℝn:
V contains zero vector

일단 closure(폐포, 닫힘)이란 단어가 나온다. 집합론/군론의 closed랑 호환되는 거겠지 아마..
x in V → cx in V : closure under scalar multiplication
a in V, b in V → a+b in V : closure under addition

이상 세 가지 조건을 만족하면 subspace? CHK

  • 영벡터가 있다 (덧셈의 항등원)
  • 스칼라곱에 닫혀 있다
  • 덧셈에 닫혀 있다

https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces/subspace-basis/v/linear-subspaces?modal=1

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3.2. wikidocs 책 03) 부분공간

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3.3. 행공간, 열공간, 영공간

이것들은 모두 벡터공간, 부분공간?

A를 m×n행렬이라 할 때
A의 행벡터 r1, r2, …, rm이 생성하는 ℝn의 subspace를 A의 행공간(row space)이라 함. 행공간,row_space
A의 열벡터 c1, c2, …, cn이 생성하는 ℝm의 subspace를 A의 열공간(column space)이라 함. 열공간,column_space
ℝn의 subspace의 동차연립방정식 Ax=0의 해로 이루어진 공간을 영공간(null space)이라 함. 영공간,null_space

비동차연립일차방정식 Ax=b의 일반해는, 동일한 A를 가지는 Ax=0의 일반해,general_solution에, 특수해,particular_solution를 추가해 얻을 수 있다고. //todo: 해,solution에서 이곳 link
위에서 언급했듯, A의 영공간은 Ax=0의 해공간.
만약 x0가 비동차연립일차방정식 Ax=b의 어떤 해이고,
S={v1, v2, ..., vk}가 A의 영공간의 기저,basis라면,
Ax=b의 모든 해는 다음 형태로 표현 가능:
$x=x_0+c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_kv_k$
x는 Ax=b의 일반해,general_solution가 되고,
x0는 Ax=b의 특수해,particular_solution이며,
위의 x에서 x0를 제외한 나머지 부분은 Ax=0의 일반해라고 한다.

결론:
비동차연립일차방정식의 일반해는, 그 연립방정식의 특수해와 동차연립방정식의 일반해의 합이다.


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3.4. 8.pdf

Excerpts from http://elearning.kocw.net/contents4/document/lec/2013/Chungbuk/LeeGeonmyeong1/8.pdf
{
Summary:
  • 부분공간은, 벡터공간의 성질을 만족하는, 공간의 부분집합이다.
  • 주요 부분공간: 영공간, 열공간, 행공간, 좌영공간
  • 영공간은 동차선형시스템(homogeneous 선형방정식,linear_equation) Ax=0의 모든 해의 집합.
  • 열공간은 주어진 행렬에 대한 열벡터들의 모든 선형결합의 집합.
  • 행공간은 주어진 행렬에 대한 행벡터들의 모든 선형결합의 집합.
  • 좌영공간은 전치행렬,transpose_matrix의 영공간,null_space

// 이하 슬라이드 요약.

영부분공간(zero subspace):
영벡터만으로 구성된 집합 $\{ \vec{0} \}$

행렬 A의 열공간(column space, range, image):
행렬 A의 열벡터들의 모든 선형결합의 집합.
기호: Col(A)
(저 밑에부터는 괄호를 안 적었는데 별 상관은 없겠지....)
$\operatorname{Col}\vec{A}=\left{ x_1\vec{a_1} + \cdots + x_m\vec{a_m} \middle| \forall x_i \in \mathbb{R} \right} = \left{ \vec{A}\vec{x} \middle| \vec{x}\in\mathbb{R}^m \right}$
// A, x 위에 화살표 맞는지, R이 실수집합 맞는지, chk....

행렬 A의 영공간(null space, kernel) 영공간,null_space
기호: Nul A

행렬 A의 행공간(row space)
기호: Row A
$\operatorname{Row}\vec{A}=\left{ c_1\vec{a_1}{}^{\top}+\cdots+c_m\vec{a_m}{}^{\top}\middle| \forall x_i \in \mathbb{R} \right} = \operatorname{span}\left{ \vec{a_1}{}^{\top},\cdots, \vec{a_m}{}^{\top} \right}$
// x_i는 c_i 아닌가? 바로 밑에 나온 것처럼.

행공간과 영공간의 직교.
행공간 $\operatorname{Row}\vec{A}=\left{ c_1\vec{a_1}{}^{\top}+\cdots+c_m\vec{a_m}{}^{\top}\middle| \forall c_i \in \mathbb{R} \right}$
영공간 Ax=0
$A=\begin{bmatrix}\vec{a_1}{}^{\top} \\ \vec{a_2}{}^{\top} \\ \vdots \\ \vec{a_m}{}^{\top} \end{bmatrix}$
$\vec{a_i}{}^{\top} \vec{x} = 0$
식으로
$(c_1\vec{a_1}{}^{\top}+\cdots+c_m\vec{a_m}{}^{\top})\vec{x}=c_1\vec{a_1}{}^{\top}\vec{x}+\cdots+c_m\vec{a_i}{}^{\top}\vec{x}=0$
즉 (행공간벡터)(영공간벡터 x) = 0
// 끝에 a_i는 a_m 아닌가??

추축열(pivotal column):
행사다리꼴에서 추축(pivot)을 갖는 행렬의 열.
행렬 A의 추축열들은 열공간(column space)의 기저가 된다.
//주축열이라고 하는 곳도 있던데

기저,basis 생략.



계수,rank
rank A는, 행렬 A의 열공간,column_space의 차원,dimension.
A의 추축열들이 Col A의 기저,basis를 구성.
A의 rank는 추축열의 개수.

계수 정리(rank theorem), rank-nullity thm
행렬 A가 n개의 열을 가지면
rank A + dim Nul A = n
여기서
dim Nul A (= A의 nullity) : 자유변수(free variable) 개수
rank A : 추축열(pivotal column) 개수

left nullspace 생략.
rank A = rank AT 생략.
가역행렬정리 생략.
}


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4. 인터넷 페이지들 요약 CHK MERGE DELME

CHK, 인터넷 포스팅 등을 참조하였음. 확인 후 본문에 merge.
{
선형결합으로 이루어지는 공간이 1. 원점을 지나고 2. 덧셈 연산에 닫혀있는 경우, 부분 공간(subspace)이 될 수도 있다.
V와 W는 벡터공간이고, V가 W의 부분집합이면, V는 W의 부분공간(subspace)이라고 한다.
다시 정리하면, 벡터공간 V의 부분집합인 H가 다음을 만족할 때 부분공간(subspace)이라고 한다.
  • V에 속하는 영벡터(zero vector)가 H의 원소이다.
  • u,v∈H, u+v∈H, v+u∈H
  • u∈H이고 임의의 스칼라 c에 대해 cu∈H
// https://wegonnamakeit.tistory.com/40
벡터공간 V의 부분집합인 H가 다음을 만족할 때 부분공간(subspace)이라고 합니다.
(1) V에 속하는 영벡터(zero vector)가 H의 원소이다.
(2) u,v∈H, u+v∈H, v+u∈H
(3) u∈H이고 임의의 스칼라 c에 대해 cu∈H
(페이지에 그림 있음)
// https://ratsgo.github.io/linear algebra/2017/05/20/spaces/
부분공간을 구성하는 벡터들이 서로 독립(선형독립,linear_independence)이면 (그 벡터들을?) basis of a subspace라고 한다.
기저,basis

정의
공집합이 아닌 $\mathbb{R}^n$ 상의 벡터들의 집합이,
스칼라곱과 덧셈에 닫혀있다면,
(i.e. 일차결합=선형결합,linear_combination에 대하여 닫혀있다면,)
이것을 $\mathbb{R}^n$ 상의 부분공간이라 한다.

$\mathbb{R}^n$ 상의 부분공간의 예.
영부분공간(zero subspace) : 영벡터만을 원소로 가짐. $\{ \vec{0} \}$
영벡터의 스칼라곱과 두 영벡터의 합은 영벡터이므로, $\mathbb{R}^n$ 상의 부분공간임.
$\mathbb{R}^n$ 그 자체
$\mathbb{R}^n$ 상의 벡터의 스칼라곱은 $\mathbb{R}^n$ 상의 벡터가 되며
$\mathbb{R}^n$ 상의 두 벡터의 합은 $\mathbb{R}^n$ 상의 벡터가 되므로.
(위 둘은 자명한 부분공간(trivial subspace).)

정의(2)
$\vec{v_},\vec{v_},\cdots,\vec{v_}$ 가 $\mathbb{R}^n$ 상의 벡터일 때, 모든 일차결합
$\vec{x}=t_1\vec{v_1}+t_2\vec{v_2}+\cdots+t_s\vec{v_s}$
들의 집합은 $\mathbb{R}^n$ 상의 부분공간이 된다.

이렇게 만들어진 $\mathbb{R}^n$ 상의 부분공간 $W$ 를,
$\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_s}$ 의 생성,span이라 하며 다음과 같이 표기.
$W=\mathrm{span}\left{ \vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_s} \right}$
혹은 $\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_s}$ 가 $W$ 를 생성한다고 함.
$t_1,t_2,\cdots,t_s$ 는 매개변수(parameters).

정리:
임의의 $\mathbb{R}^n$ 의 부분공간은 반드시 zero vector를 포함해야 한다.

아래에서 영벡터(zero vector)=원점(origin) 혼용됨. 일부러 혼용함 - 여기서 완전히 같은 뜻인듯.

$\mathbb{R}^2$ 에서 가능한 부분공간들
  • $\mathbb{R}^2$ 전체
  • 영벡터를 지나는 임의의 직선,line - 원점을 지나는 아무 직선
  • 영벡터 only - 영벡터 그 자체
i.e. (http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1285101 4강 11m)
  • {(0,0)}
  • a line passing through (0,0)
  • $\mathbb{R}^2$

$\mathbb{R}^3$ 의 가능한 부분공간들
행렬의 부분공간(subspace of matrix)
에는 여러가지가 있을텐데 (행공간 등등?)....

바로 열공간,column_space을 뽑아낼 수 있다
임의의 행렬 A에서, 모든 열,column의 선형결합,linear_combination은 부분공간(subspace)을 형성한다.
이것을 column space라 부르고
C(A)로 쓴다.


벡터공간 V의 부분집합 W가 있다.
W는 공집합이 아니다.
V상에서 정의된 덧셈과 스칼라곱에 대해 벡터공간,vector_space이 될 때,
(i.e. 벡터공간의 열 공리를 만족할 때)
W를 벡터공간 V의 부분공간이라 한다. 표기는:
$W\le V$

어떤 부분공간들의 합집합(∪)은 부분공간이 아니다. (QQQ 즉, 항상 아니라는 뜻?)
어떤 부분공간들의 교집합(∩)은 부분공간이다.


// from https://blog.naver.com/lado135/221846778190
MIT_Linear_Algebra 6

2D 벡터공간의 부분공간:
  • 그 전체
  • 원점(zero vector)
  • 원점을 지나는 모든 직선

3D 벡터공간의 부분공간:
  • 그 전체
  • 원점(zero vector)
  • 원점을 지나는 모든 직선
  • 원점을 지나는 모든 평면

부분공간의 조건
  • 벡터 합이 부분공간 내에 있어야 (즉 닫혀있다)
  • 벡터의 실수배가 부분공간 내에 있어야
    • 원점을 반드시 포함해야 (즉 실수배에서 실수가 0인 경우)

2D 벡터공간에서, 원점을 지나지 않는 선은 부분공간이 될 수 없음. (선 벡터에 0을 곱하면 영벡터가 나오는데, 이 결과가 선을 벗어나므로 - CHK)

3D 벡터공간에 원점을 지나는 직선(L)과 평면(P)가 있다고 가정. L은 P위에 있지 않다. 교차점은 원점 뿐이다.
그러면 다음은 부분공간인가?
P∪L
no. 합 결과가 P, L을 모두 벗어날 수 있다.
P∩L
yes. 원점뿐이므로.

열공간,column_space 생략

영공간,null_space := Ax=0을 만족하는 모든 x의 집합.
부분공간의 일종.


}