푸리에_급수,Fourier_series

sin과 cos의 가중합,weighted_sum?

삼각함수들(sinusoidal)의 합,sum(i.e. 급수,series)으로 주기함수,periodic_function를 나타내는 방법?

대칭을 가진 범위(대칭성,symmetry 범위,range)가 있고 그 밖에서는 저 범위가 반복하여 나타나는 즉 주기성,periodicity을 띠는?
항상?

기저,basis를 단순하게
$\left{ 1,\cos x,\cos 2x,\cos 3x,\ldots,\sin x,\sin 2x,\sin 3x,\ldots \right}$ 로 두면 범위가 $[-\pi,\pi]$ 로 고정되어 버린다.
$[-T,T]$ 범위의 임의의 주기,period ( 즉 주기의 길이는 $2T$ ) 를 쓰려면 삼각함수 속 $x$ 앞의 계수 $P$ 가 $\frac{2\pi}{P}=2T$ 즉 $\pi=TP,\,P=\frac{\pi}{T}$ 이면 되므로 기저를
$\left{ 1,\cos\left(\frac{\pi}{T}x\right),\cos\left(\frac{2\pi}{T}x\right),\cos\left(\frac{3\pi}{T}x\right),\ldots,\sin\left(\frac{\pi}{T}x\right),\sin\left(\frac{2\pi}{T}x\right),\sin\left(\frac{3\pi}{T}x\right),\ldots\right}$ 로 하면 반복되는 범위를 $[-T,T]$ 로 일반화할 수 있다.

그리고 저 집합 직교성,orthogonality을 가짐. ∫sin()cos()dx 뿐만 아니라 ∫cos()cos()dx도 마찬가지로 0이 나오는.

tips
1. 기함수의 $-L$ 부터 $L$ 까지의 정적분,definite_integral은 항상 0 .... $\int\nolimits_{-L}^L \sin(\cdots)dx=0$
2. $n$ 이 정수이면 $\sin(n\pi)=0$
3. $n$ 이 자연수(0포함)이면 $\cos(n\pi)=(-1)^n$


$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos \left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right]$

여기서 $a_0,a_n,b_n$ 은 다음 공식으로 구한다.
$a_0=\frac1{2L}\int\nolimits_{-L}^{L} f(x)dx$
$a_n=\frac1{L}\int\nolimits_{-L}^{L} f(x)\cos\left(\frac{n\pi}{L}x\right)dx$
$b_n=\frac1{L}\int\nolimits_{-L}^{L} f(x)\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)dx$


푸리에에 의하면, 모든 주기함수,periodic_function는 사인 함수와 코사인 함수의 (무한)합으로 나타난다. 함수
$\sin x,\sin 2x,\sin 3x,\cdots,$
$1,$
$\cos x,\cos 2x,\cos 3x,\cdots$
는 모두 주기,period가 $2\pi$ 인 함수이다. (주기는 "최소 주기"를 뜻하기도 하지만 여기서는 넓은 의미로 사용하였다.) 함수 $f(x)$ 가 주기가 $2\pi$ 인 함수이면,
$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right)$
를 만족시키는 실수 $a_0,a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots$ 가 (오직 하나) 존재한다. 이 때 위 식의 오른쪽 항을 $f$ 의 푸리에 급수라고 부른다.

(김홍종 미적1+ p141)

(정의) Fourier 급수
구간 $(-p,p)$ 에서 정의된 함수 $f$ 의 Fourier 급수는 다음과 같다.
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n\cos\frac{n\pi}{p}x + b_n\sin\frac{n\pi}{p}x \right)$
여기서
$a_0=\frac1p\int_{-p}^p f(x)\,dx$
$a_n=\frac1p\int_{-p}^p f(x)\cos\frac{n\pi}{p}x\,dx$
$b_n=\frac1p\int_{-p}^p f(x)\sin\frac{n\pi}{p}x\,dx$
이다.

(Zill 8e ko vol2 p12)


임의의 주기함수,periodic_function는 코사인/사인(sinusoid)의 무한급수,infinite_series로 표현(전개,expansion)할 수 있다.

조화해석,harmonic_analysis : 함수를 푸리에급수 꼴로 나타내는 일. 푸리에급수 전개에서 각 항의 계수를 구하는 기법.
//수백
주어진 구간,interval 내에서 정의된 함수 $f$ 를 특수한 삼각함수,trigonometric_function의 직교집합,orthogonal_set을 기저,basis로 하여 전개,expansion하는 것.
현대적 관점에선 푸리에 급수를 공간,space의 대칭성,symmetry의 결과로 이해...

먼저 직교집합을 정의하면 (copied to local)
구간,interval $[a,b]$ 에서 정의된 실수값 함수들의 집합,set $\lbrace f_0,f_1,\cdots\rbrace$ 이 다음을 만족하면, 이 집합은 직교집합이다.
$(f_m,f_n)=\int_a^b f_m(x) f_n(x) dx = 0\;\;\;(m\ne n)$
좌변은 내적,inner_product을 뜻한다. 즉 함수의 내적이 0이면 두 함수가 직교한다(직교성,orthogonality)고 정의하는 것.

그다음 삼각급수,trigonometric_series(writing) 매우 길어서 나중에. tbw
tmp from https://www.youtube.com/watch?v=0aSZM7Qj1HY
$\hat{f}(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)$
식의 의미는 '코사인과 사인을 무한히 섞으면 주기함수를 표현가능하다'
여기서
맨 앞 항은, 나머지(뒤쪽 항들, 주기성 함수)를 위로 올리거나 내리는 역할.

연속신호/연속함수는 무한차원벡터이고,
이것은 기저벡터의 선형결합으로 재구성할 수 있다.

n차원 벡터는 n개 숫자의 나열이고
함수는 값을 무한 개 나열한 것으로 볼 수 있으므로
함수는 무한 차원 벡터로 생각할 수 있다.

함수는 무한차원벡터공간의 한 점으로 볼 수 있다.

Def. 함수의 내적(inner product of functions)
The inner product of two functions $f_1$ and $f_2$ on an interval $[a,b]$ is the number
$(f_1,f_2)=\int_a^b f_1(x)f_2^*(x)dx$

Def. 직교함수(orthogonal functions)
Two functions $f_1$ and $f_2$ are said to be orthogonal on an interval $[a,b]$ if
$(f_1,f_2)=\int_a^b f_1(x)f_2^*(x)dx=0$

Def. 직교 함수 집합, orthogonal set
A set of complex-valued functions $\lbrace\phi_0(x),\phi_1(x),\phi_2(x),\cdots\rbrace$ is said to be orthogonal on an interval $[a,b]$ if
$(\phi_m,\phi_n)=\int_a^b \phi_m(t) \phi_n^* (t)dt=0,\;\;\;m\ne n$

(see 내적,inner_product 직교성,orthogonality 직교함수,orthogonal_function. *는 켤레,conjugate)

위에서 말한 무한개의 직교함수들의 선형결합으로 표현한다는 것을 식으로 나타내면
$f(x)=c_0\Phi_0(x)+c_1\Phi_1(x)+\cdots+c_n\Phi_n(x)+\cdots$
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n\Phi_n(x)$

Def. 연속 시간 푸리에 급수 Continous time Fourier series
For any signal $x(t)$ satisfying $x(t)=x(t+T),$ we can write
$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k \exp\left( j\frac{2\pi k}{T} t \right)$

Fourier series는 두 식으로 구성. 아래 두 식은 하나의 신호를 분석하는 두 관점.
(1)
$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k\exp\left( j\frac{2\pi k}{T}t\right )$
연속신호(=연속함수)는 무한차원벡터이고, 이것은 기저,basis벡터(삼각함수,trigonometric_function)의 선형결합,linear_combination으로 재구성 가능.
(2)
$a_k=\frac{1}{T}\int_0^T x(t) \exp\left(-j\frac{2\pi k}{T}t\right) dt$
신호를 구성하는 각 기저벡터는 얼마만큼의 기여도를 갖고 있는지?
→ 주파수,frequency분석에 활용 가능

$\exp\left(-j\frac{2\pi k}{T} t \right)$ 이 지수함수는 주파수(진동수,frequency)가 $\frac{k}{T}$ 인 삼각함수를 뜻함.
식= $\cos\left(\frac{2\pi k}{T} t\right) -j\sin\left( \frac{2\pi k}{T} t \right)$ 이므로.


임의의 2D shape를 그릴 수 있음 (fourier epicycle drawings)
https://www.myfourierepicycles.com/
주전원,epicycle


정의 5.1: 푸리에 급수

주기,period가 $2\pi$ 인, 즉 2π-주기 함수 $f(x)$ 의 푸리에 급수 $f_F(x)$ 를 다음과 같이 정의한다.
$f_F(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right)$
여기서 푸리에_계수,Fourier_coefficients라고 불리는 $a_n$ 과 $b_n$ 은 다음 식으로 주어진다.
$a_n = \frac1{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx, \;\;\; n=0,1,\cdots$
$b_n = \frac1{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx, \;\;\; n=1,2,\cdots$

(이승준 p85)

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복소 푸리에 급수 complex Fourier series


정의 12.4.1 복소 Fourier 급수

구간 $(-p,p)$ 에서 정의된 함수 $f$ 의 복소 Fourier 급수(complex Fourier series)는 아래와 같이 주어진다.
$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\pi x / p}$
여기서
$c_n = \frac1{2p} \int_{-p}^p f(x) e^{-in\pi x/p} dx,\; n=0,\pm1,\pm2,\ldots$
이다.

(Zill 8e ko vol2 p26)


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bmks ko tmp

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bmks en


Related:
푸리에_변환,Fourier_transform
푸리에 급수는 주기함수,periodic_function에 대해서만 쓸 수 있고 비주기 함수(aperiodic_function)에 대해서 비슷한 도구가 푸리에 변환.
직교성,orthogonality과의 관계
{
푸리에 급수 직교성 ... tmp from https://youtu.be/VqeGQkRaSSg?t=75

적분이 영,zero이 되는.. tbw

아래 둘은 m과 n이 다르면 무조건 0이 나온다. 직교성 때문에. 다시 말해 m과 n이 같다면 '뭔가가 나온다' 는 뜻..(? 정확히)
$\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \cos mx dx = 0 \;\;(n\ne m)$
$\int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \sin mx dx = 0 \;\;(n\ne m)$

하지만 다음 sin과 cos의 곱은 무조건 기함수(홀함수,odd_function)가 되기 때문에 m과 n이 같아도 0이 나온다.
$\int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \cos mx dx = 0 \;\;(n\ne m \,\text{ or }\, n=m)$

3:00~ 나중에 적든지