가우스 면 내부 전하	내부 전하의 부호	나오는 전기선속
전하가 없으면	$q_{\textrm{in}}=0$	$\Phi_E=0$
양의 전하가 있으면	$q_{\textrm{in}}>0$	$\Phi_E>0$
음의 전하가 있으면	$q_{\textrm{in}}<0$	$\Phi_E<0$

결론은 폐곡면 내부전하,electric_charge와 나오는 전속,electric_flux이 비례한다는 것.

$\Phi_E\propto q_{\textrm{in}}$
$\Phi_E=\frac{q_{\textrm{in}}}{\epsilon_0}$
$\Phi_E=\int\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{q_{\textrm{in}}}{\epsilon_0}$

폐곡면(가우스_곡면,Gaussian_surface)을 통과하는 전기장 다발 Φ_E는 폐곡면 안에 든 총 전하량 Q_in에 비례한다.
{
가우스 면, 가우스 곡면, 가우스 표면

가상의 폐곡면(닫힌 면)
임의로 잡을 수 있음

따라서 보통 대칭성을 이용할 수 있고 계산이 최소화되는 것을 선택하는 듯..

보통 구면, 정육면체, 원통형(실린더형) 예를 드는 듯..

Rel. 가우스_법칙,Gauss_s_law

(전하 $q$ 를 둘러싼) 폐곡면을 지나는 알짜선속(전속,electric_flux)은

폐곡면 내부의 전하 $q$ 에만 의존 (밖의 전하는 신경쓸 필요 X)
폐곡면의 모양에 무관
크기는 $\frac{q}{\epsilon_0}$

폐곡면 외부의 전하는 선속? 전기장선?? 을 구부릴 수는 있어도 폐곡면을 나오는 선속의 수에는 영향을 끼치지 못한다. CHK

surface대신 shell이라고도 하는 듯

Up: 곡면,surface > closed_surface?
}

대칭성,symmetry...을 잘 찾아서 가우스면을 잡으면 편하다...던데....

점대칭 point symmetry
선대칭 line symmetry
면대칭 plane symmetry

전기장에 대한 것과 자기장에 대한 것이 있는데 현재 내용은 대부분 전기장에 대한 것이며 자기장에 대한 것은 맨 밑으로.

다음과 같은 여러 표현이 있음

$\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{a} = \frac{Q_{\textrm{in}}}{\epsilon_0}$

$\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}=\Phi=\frac{q_{\textrm{encl}}}{\epsilon_0}$

$\vec{E}\cdot d\vec{A}$ 가 스칼라곱(scalar product)이므로, 전속,electric_flux은 스칼라 양

$\mathrm{\Phi}_{\rm E}=\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\rm in}}{\epsilon_0}$

Φ_E = 전속,electric_flux
E = 전기장,electric_field
Q = 전하,electric_charge
A는 면에 대한 법선벡터? CHK

이중적분기호 $\iint$ 로 표기하는 곳도 있음

전속으로 표현하면, 알짜 전하(net charge) q_enc가 들어 있는 것(?)의 표면을 알짜 전속(net flux) Φ가 통과? 할때

$\varepsilon_0\Phi =q_{\textrm{enc}}$

전기장으로 표현하면,

$\varepsilon_0\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}=q_{\textrm{enc}}$

(Halliday 10e)

$\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}$
$\oint\vec{E}\cdot\vec{A}=\frac{q}{\varepsilon_0}$

dA 아닌가? CHK

(Bauer)

(진공의 유전율) × (닫힌 곡면에 대한 플럭스) = (닫힌 곡면 안에 든 전하량)
(닫힌 곡면에 대한 플럭스) = (닫힌 곡면 안에 든 전하량) / ε₀
가우스 곡면에 대한 플럭스는 전기장의 그 곡면에 대한 면적분,surface_integral으로 주어짐.
닫힌 곡면 S, 그 안의 총 전하량 q, 닫힌 곡면 위 각 지점에서의 전기장 값을 $\vec{E}$ 라 하면, 가우스 법칙은

$\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{q}{\varepsilon_0}$

(

물리산책 가우스의 법칙)

1. 쿨롱 법칙과의 관계
2. tocleanup
3. 차동우
4. 미분 표현
5. 가우스 법칙의 미분형태
6. 적분 표현
7. 가우스의 전기장 법칙
8. 가우스의 자기 법칙
9. ysi
10. QQQQ
11. tmp links ko
12. tmp bmks en

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1. 쿨롱 법칙과의 관계 ¶

쿨롱_법칙,Coulomb_s_law과 같은 말을 하고 있다. 가우스 법칙은 쿨롱 법칙의 새로운 형태다.
가우스 면이라는 가상의 폐곡면...

$|\vec{E}|\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ (가우스 법칙 스타일)

$\small\updownarrow$

$|\vec{E}|=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$ (쿨롱 법칙 스타일)

쿨롱 법칙을 쓰면 힘든 특별한 문제들을 Gauss법칙으로 쉽게 풀 수 있다.

가우스 법칙에서 쿨롱 법칙을 이끌어내기
점 전하 q가 원점에 있고, 반지름 r인 공 표면에서 전기장 E의 크기는 구의 대칭성 때문에 일정하고, 방향은 밖으로 나아가는 방향, 등을 가정하면 (CHK)

$\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{A}=E\oint_S dA=E(4\pi r^2)=\frac{q}{\epsilon_0}$

따라서

$E=\frac1{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}$

이렇게 쿨롱 법칙이 나옴. See also 쿨롱_법칙,Coulomb_s_law

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2. tocleanup ¶

균일한 전기장 $E$ 가 있을 때, 이 전기장에 수직이고 면적이 $A$ 인 면을 지나는 전기장 선속(전기선속, 전속,electric_flux) $\phi$ 는

$\phi=E\cdot A$

면적 $A$ 가 전기장 $E$ 와 수직하지 않을 때, 전기장 $E$ 에 수직한 면적 $A_{\bot}$ 을 지나는 전속과 면적 $A$ 를 지나는 전속이 같다.

$\phi=E\cdot A_{\bot}=EA\cos\theta$

일반적으로는

$\phi=\oint E\cdot dA$

점전하,electric_charge $q$ 를 중심으로 하는 반지름 $r$ 인 구면을 지나는 전속 $\phi$ 는,

$\phi=\oint E\cdot dA=\frac{kq}{r^2}\cdot 4\pi r^2=4\pi kq$

그리고 $k=\frac1{4\pi\epsilon_0}$ 이므로

$\phi=\frac{q}{\epsilon_0}$

따라서

$\oint E\cdot dA=\frac{q}{\epsilon_0}$

(전기장의 세기) ∝ (단위면적당 전기력선의 수) = (전기력선의 수) / (면적)
즉,
(면적) × (전기장의 세기) ∝ (전기력선의 수)

식으로 Φ_E=EA ? CHK

Φ_B=BA (자속,magnetic_flux=자기장,magnetic_field×면적 의 경우)와 비슷?

전기장,electric_field

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3. 차동우 ¶

폐곡면(가우스 면, 가우스 곡면, 가우스 폐곡면)을 통과하는 전기장,electric_field의 총 선속,flux (i.e. 전속,electric_flux) $\Phi_E:$

$\Phi_E=\oint_S\vec{E}\cdot d\vec{a}$

그 폐곡면 내 포함된 알짜전하(+, -을 상쇄하고 남는 전하) $q:$

$q=\int_V \rho dv$

→ $\Phi_E,\;q$ 사이에는

$\Phi_E=\frac{q}{\epsilon_0}$ 가 성립

→ 이것을 $\rho,\;\vec{E}$ 로 표현하면

$\oint_S\vec{E}\cdot d\vec{a}=\frac{1}{\epsilon_0}\int_V \rho dv$

* 실제로는 쿨롱 법칙보다 가우스 법칙을 많이 씀
* 가우스 법칙 좌변의 적분은 가우스 표면에서 전기장 값을 먼저 알아야 구하는 게 가능
* 가우스 법칙으로 전기장을 구할 수는 없지만, 가우스 법칙 자체는 언제나 성립
* 전하 분포가 특별한 경우에만 (전하분포에 대칭성이 있을 때) 가우스 법칙을 써서 전기장을 구할 수 있음

그리하여 가우스 법칙을 적용가능한 전하분포 패턴은 한정되어 있는데

점전하
무한히 긴 균일한 선전하
무한히 넓은 균일한 면전하

하나씩 보면,

점전하가 만드는 전기장

점전하 $q$ 를 중심으로 하고, 반지름 $r$ 인 구의 표면을 가우스 폐곡면으로 정함.
그러면 대칭성에 의해 구 표면 전기장의 세기는 모두 같고, 전기장 방향은 모두 $\hat{r}$ 방향.

$\vec{E}(\vec{r})=E(r)\hat{r}$

그래서, 법칙의 좌변: $\vec{E}$ 와 $\vec{a}$ 방향이 같으므로, $\vec{E}\cdot d\vec{a}=Eda$ 이므로

$\oint_S\vec{E}\cdot d\vec{a}=\oint_S Eda=E\oint da=4\pi r^2 E$

법칙의 우변:

$\int_V\rho dv=q$

따라서

$4\pi r^2 E=\frac{q}{\epsilon_0}$
$\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{r}$

이 결과를 보면 쿨롱 법칙과 동일한 것을 알 수 있음

무한히 긴 균일한 선전하가 만드는 전기장

가우스표면은 원통 모양,
선전하가 중심축에 있고,
원통 단면 반지름 $\rho$ 이고,
길이가 $l$ 인 원통 표면을 가우스 폐곡면으로 정함
원통 표면에서는 전기장 세기가 모두 같고, 원통 표면 어디서나 전기장 방향은 $\hat{\rho}$

법칙의 좌변:

$\oint_S\vec{E}\cdot d\vec{a}=2\pi\rho l E$

법칙의 우변에 있는 적분:

$\int_V\rho dv=\lambda l$ (람다: 선전하밀도, see 전하밀도,charge_density)

대입하면

$2\pi\rho l E=\frac{\lambda l}{\epsilon_0}$
$E(\rho)=\frac1{2\pi\epsilon_0}\frac{\lambda}{\rho}$

from https://youtu.be/UaPnaXXYIzs 차동우 가우스 법칙

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4. 미분 표현 ¶

$\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$

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5. 가우스 법칙의 미분형태 ¶

발산정리,divergence_theorem로 유도한다고 함

전기장

$\nabla\cdot\vec{D}=\rho_0$
$\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$

$\vec{D}$ : 전기변위장,electric_displacement_field(=전속밀도)
$\rho_0$ : 자유전하밀도
$\rho$ : 전하밀도

자기장

$\nabla\cdot\vec{H}=0$

CHK

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6. 적분 표현 ¶

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7. 가우스의 전기장 법칙 ¶

가정: 구형 도체

표면(가우스 면)에서 나가는 전기장 E (전기장,electric_field)
반지름 R
표면적 A
내부 전하 q (전하,electric_charge)

도체 내부의 전기장은 0이다. (표면에만 있다.)
도체 표면과 전기장선의 각도는 90°이다.

전기장의 세기 $|\vec{E}|=k\frac{q}{R^2}$ 이고 공의 표면적 $A=4\pi R^2$ 이므로

$E\cdot A=4\pi k q$

여기에

$k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$

를 넣으면

$E\cdot A=\frac{q}{\epsilon_0}$

$\Phi_{E}=\sum|\vec{E}|\cdot\Delta A\cdot\cos\theta = \frac{Q}{\epsilon_0}$

Q = 표면에 싸인 내부의 전하량

평행판 축전기,capacitor를 가정하면, (이렇게 해야 다음 내용이 말이 되는지?? CHK)
(그걸 가정하는 이유는 전기장이 판 사이에서 일정하다고 놓기 위한 것이 맞는지? CHK)

$|\vec{E}|\cdot A\cdot\cos0\textdegree=|\vec{E}|\cdot A$
$|\vec{E}|=\frac{Q}{\epsilon_0A}$

여기서 $\frac{Q}{A}$ 는 면전하밀도 $\sigma$ 이므로 (전하밀도,charge_density)

$|\vec{E}|=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$

가우스_법칙

Gauss'_law
https://namu.wiki/w/가우스 법칙

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8. 가우스의 자기 법칙 ¶

Gauss's_law_for_magnetism

AKA 자기장에 대한 가우스의 법칙, 자기에 관한 가우스의 법칙

$\oint\vec{B}\cdot d\vec{A}=0$

자하,magnetic_charge는 검출되지 않았다는 실험 사실에 근거함.

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9. ysi ¶

먼저 전속,electric_flux(Ψ)은 전속밀도(D)에 대해

$\Psi=\int\vec{D}\cdot d\vec{S}$ (임의의 면적에 대해)

인데, 가우스법칙은

$\Psi=\oint\vec{D}\cdot d\vec{s}$ (폐곡면에 대해)

$=Q_{\textrm{enclosed}}$ (Q는 그 폐곡면이 싸고 있는 전하량)

즉, 전하에서 발산해나오는 전속은 그 원인이 되는 전하량과 같다는 것.

가우스 법칙은 대칭성이 확보된 때만 적용한다.
가우스평면(가우스면, 가우시안 폐곡면)은 대칭성도 중요하고
다음 조건도...

접선 조건 : $\vec{D}//d\vec{s} \Rightarrow \vec{D}\cdot d\vec{s} = Dds$ (계산이 편해짐)

또한 $\Rightarrow \vec{D}//\Delta\vec{S} \Rightarrow \vec{D}\cdot\vec{S}=D\Delta S$

법선 조건: $\vec{D}\bot\Delta\vec{S} \Rightarrow \vec{D}\cdot\Delta\vec{S}=0$

접선조건만으로 되면 충분하겠지만 안되면 법선조건도 써서.

가우스법칙 적용 예: y축 따라가는 무한직선, 선전하밀도 $\rho_L$
$\vec{D}=D_{\rho}\vec{a_{\rho}}$ , 무엇의 함수냐면

$=D_{\rho}(\rho)\vec{a_{\rho}}$ 즉 rho만의 함수. (D는 phi, z에 관계없이 일정)

$\oint\vec{D}\cdot d\vec{s}=Q_{enc}$
좌변 = 옆면적분 + 윗면적분 + 아랫면적분

$=\int\nolimits_{\phi=0}^{2\pi} \int\nolimits_{z=0}^{h} D_{\rho} \vec{a_{\rho}} \cdot \rho d\phi dz \vec{a_{\rho}}+0+0$
$=D_{\rho} (2\pi\rho) (h)$
$=2\pi h \rho D_{\rho}$

우변