Difference between r1.49 and the current
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그러니까 무한차 [[다항식,polynomial]]? CHKex.
[[테일러_급수,Taylor_series]], [[매클로린_급수,Maclaurin_series]]
[[테일러_급수,Taylor_series]] $\nolimits \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$
[[매클로린_급수,Maclaurin_series]] $\nolimits \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$
[[로랑_급수,Laurent_series]]?
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수렴반경 : 특정 조건을 만족하는 실수 ...수렴구간
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정의.
x=0을 중심으로 하는 멱급수(power series about x=0):
$\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \cdots + c_nx^n + \cdots$
x=a를 중심으로 하는 멱급수(power series about x=a):
$\sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots + c_n(x-a)^n + \cdots$
여기서 $a$ 는 [[중심,center]], [[상수,constant]] $c_0,c_1,c_2,\cdots,c_n,\cdots$ 는 [[계수,coefficient]]라 한다.
(Thomas 13e ko)
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[[TableOfContents]]
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관련 페이지: [[기수법,numeral_system]]
= 함수를 멱급수로 나타내기 representations of functions as p. s. =
= 함수를 멱급수로 나타내기 representations of functions as power series =
예: $|x|<1$ 이면 $\frac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$
$\frac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$
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응용: $\frac1{1+x^2}=\frac1{1-(-x^2)}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots\;(|-x^2|<1)$
1
$\frac1{1+x^2}=\frac1{1-(-x^2)}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$
$(|-x^2|<1)$
$\Leftrightarrow x^2<1$
$\Leftrightarrow -1<x<1$
2
$\frac1{x+2}$
$=\frac1{2+x}$
$=\frac12 \frac1{1+\frac{x}{2}}$
$=\frac12 \frac1{1-\left(-\frac{x}{2}\right)}$
$=\frac12\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^n$
$=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{2^{n+1}}$
$\left| -\frac{x}{2} \right| < 1$
$\Leftrightarrow |x|<2$
$\Leftrightarrow -2<x<2$
3
$\frac{x^3}{x+2}=\frac{x^3}{2}\left(\frac1{1-\left(-\frac{x}{2}\right)}\right)=\frac{x^3}{2}\left(1-\frac{x}2+\frac{x^2}{2^2}-\frac{x^3}{2^3}+\cdots\right)$$=\frac{x^3}{2}-\frac{x^4}{2^2}+\frac{x^5}{2^3}-\frac{x^6}{2^4}+\cdots\;(|-\frac{x}2|<1,\,|x|<2)$
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$\ln(1+x)=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac1{4}x^4+\cdots$$\tan^{-1}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$
= 멱급수의 수렴정리 =
멱급수
$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots$
이
$x=c\ne 0$ 에서 수렴하면, $|x|<|c|$ 일 때 [[절대수렴,absolute_convergence]]한다.
한편
$x=d$ 에서 발산하면, $|x|>|d|$ 일 때 발산한다.
(Thomas 13e ko)
= 멱급수의 수렴 반지름 =
멱급수 $f(x)=\sum c_n x^n$ 을 고려하자. 급수의 수렴 혹은 발산은 입력 변수 $x$ 를 어떻게 선택하느냐에 따라 달라진다. 수렴 반지름은 $\rho$ 로 표기하는데, 이 값은 n제곱근 판정법 혹은 비율 판정법을 사용하여 구할 수 있다.
$\frac{1}{\rho}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|$
멱급수 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n x^n$ 은 모든 $-\rho<x<\rho$ 에 대해 수렴한다.
//수렴반경 수렴반지름
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… 지금까지 공부한 것에 의하면 급수 $\textstyle\sum c_n(x-a)^n$ 의 수렴에 대해 세 가지가 가능하다. 즉 $x=a$ 에서만 수렴하거나, 모든 점에서 수렴하거나, $x=a$ 를 중심으로 반지름이 $R$ 인 어떤 구간에서 수렴한다. …
(위 '멱급수의 수렴정리'의 따름정리)
급수 $\sum c_n (x-a)^n$ 의 수렴성은 다음 세 가지 중의 하나이다.
1. 양수 $R$ 이 존재하여
$|x-a|>R$ 인 모든 $x$ 에 대하여 발산하고 // [[반지름,radius]]밖에선 [[발산,divergence]]
$|x-a|<R$ 인 모든 $x$ 에 대해 절대수렴한다. // 반지름 안에선 [[절대수렴,absolute_convergence]]
양 끝점인 $x=a-R,\;x=a+R$ 에서는 급수에 따라 수렴할 수도 있고 발산할 수도 있다.
1. 모든 $x$ 에 대해 절대수렴한다. - $R=\infty$ 인 경우
1. $x=a$ 에서만 수렴하고 그 외 모든 점에서 발산한다 - $R=0$ 인 경우
(중략)
$R$ 을 멱급수의 [[수렴반지름,convergence_radius]]이라 하고,
$x=a$ 를 중심으로 하는 반지름이 $R$ 인 [[구간,interval]]을 [[수렴구간,convergence_interval]]이라 한다.
(Thomas 13e ko)
= 멱급수의 수렴성을 판정하는 법 =
1. [[비율판정법,ratio_test|비판정법]]이나 [[근판정법,root_test|근판정법]]을 써서 급수가 [[절대수렴,absolute_convergence]]하는 구간을 찾는다. 보통 다음과 같은 개구간을 얻게 된다.
$|x-a|<R$ 또는 $a-R<x<a+R$
2. 절대수렴하는 구간이 유한한 구간이면 양 끝점에서 [[비교판정법,comparison_test|비교판정]], [[적분판정법,integral_test|적분판정]], [[교대급수판정법,alternating_series_test|교대급수판정]] 등을 써서 수렴, 발산 여부를 조사한다.
3. 절대수렴하는 구간이 $a-R<x<a+R$ 이면 급수는 $|x-a|>R$ 에서 발산한다([[조건수렴,conditional_convergence|조건수렴]]도 하지 못한다). 이는 이 범위에서는 $n$ 번째 항이 $0$ 으로 수렴하지 못하기 때문이다.
(Thomas 13e ko)
= 형식적 멱급수 formal power series =
"형식적 멱급수" via KmsE:"formal power"
[[형식적멱급수,formal_power_series]]https://mathworld.wolfram.com/FormalPowerSeries.html
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Formal_power_series
Up: [[형식,form]]?
[[멱급수,power_series]]
= tmp; Stewart Appendix F에서. TOMOVE =
== 수렴발산관련 page A49 ==
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[[WpKo:아벨_극한_정리]]Abel's theorem on power series
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405204&ref=y&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 아벨의 극한정리]]
... Naver:"아벨 극한 정리" Ggl:"아벨 극한 정리"
'''멱급수'''의 일반화
* [[Puiseux_series]]
* ''and..?''
see also [[RR:급수,series]]
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https://en.citizendium.org/wiki/Power_seriesUp: [[급수,series]] [[멱,power]] [[무한급수,infinite_series]] [[합,sum]]
꼴로 나타낼 수 있는 급수,series.
이것도? - yes.
여기서 를 center라고 한다. (중심,center)
바로 위 멱급수는
는 당연히 계수,coefficients.
바로 위 멱급수는
- power series in
- power series centered at
- power series about
는 당연히 계수,coefficients.
그러니까 무한차 다항식,polynomial? CHK
A power series about is a sum of constants times powers of :
수렴반경 : 특정 조건을 만족하는 실수 ...
수렴구간
정의.
x=0을 중심으로 하는 멱급수(power series about x=0):
x=a를 중심으로 하는 멱급수(power series about x=a):
여기서 는 중심,center, 상수,constant 는 계수,coefficient라 한다.
x=0을 중심으로 하는 멱급수(power series about x=0):
(Thomas 13e ko)
5. 멱급수의 수렴 반지름 ¶
멱급수 을 고려하자. 급수의 수렴 혹은 발산은 입력 변수 를 어떻게 선택하느냐에 따라 달라진다. 수렴 반지름은 로 표기하는데, 이 값은 n제곱근 판정법 혹은 비율 판정법을 사용하여 구할 수 있다.
멱급수 은 모든 에 대해 수렴한다.
(Ivan Savov)
… 지금까지 공부한 것에 의하면 급수 의 수렴에 대해 세 가지가 가능하다. 즉 에서만 수렴하거나, 모든 점에서 수렴하거나, 를 중심으로 반지름이 인 어떤 구간에서 수렴한다. …
(위 '멱급수의 수렴정리'의 따름정리)
급수 의 수렴성은 다음 세 가지 중의 하나이다.
- 양수 이 존재하여
인 모든 에 대하여 발산하고 // 반지름,radius밖에선 발산,divergence
인 모든 에 대해 절대수렴한다. // 반지름 안에선 절대수렴,absolute_convergence
양 끝점인 에서는 급수에 따라 수렴할 수도 있고 발산할 수도 있다.
- 모든 에 대해 절대수렴한다. - 인 경우
- 에서만 수렴하고 그 외 모든 점에서 발산한다 - 인 경우
(Thomas 13e ko)
8.2. p A50 ¶
멱급수 에 대해, 다음 세 가지 가능성밖에 없다. (다음 세 가지 중 하나이다?)
- 일 때만 수렴한다.
- 모든 에 대해 수렴한다.
- 이면 급수가 수렴하고, 이면 급수가 발산하는 그런 양수 이 존재한다.
멱급수 에 대해 다음 세 가지 가능성밖에 없다.
- 일 때만 수렴한다.
- 모든 에 대해 수렴한다.
- 이면 급수가 수렴하고, 이면 급수가 발산하는, 그런 양수 이 존재한다.