$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 꼴로 나타낼 수 있는 급수,series.

$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\,\cdots\,+a_nx^n+\,\cdots$

이것도? - yes.
$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\,\cdots$

여기서 $c$ 를 center라고 한다. (중심,center)
바로 위 멱급수는

power series in $(x-c)$
power series centered at $c$
power series about $c$

등으로 읽는다.
$a_0,a_1,\cdots$ 는 당연히 계수,coefficients.

그러니까 무한차 다항식,polynomial? CHK

ex.
테일러_급수,Taylor_series $\nolimits \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$
매클로린_급수,Maclaurin_series $\nolimits \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

로랑_급수,Laurent_series?

A power series about $x=a$ is a sum of constants times powers of $(x-a)$ :

$C_0+C_1(x-a)+C_2(x-a)^2+\cdots+C_n(x-a)^n+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}C_n(x-a)^n$

수렴반경 : 특정 조건을 만족하는 실수 ...

수렴구간

정의.
x=0을 중심으로 하는 멱급수(power series about x=0):

$\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \cdots + c_nx^n + \cdots$

x=a를 중심으로 하는 멱급수(power series about x=a):

$\sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots + c_n(x-a)^n + \cdots$

여기서 $a$ 는 중심,center, 상수,constant $c_0,c_1,c_2,\cdots,c_n,\cdots$ 는 계수,coefficient라 한다.

(Thomas 13e ko)

1. 진법, 수 체계와의 관련

2. 함수를 멱급수로 나타내기 representations of functions as power series

3. 멱급수전개 power series expansion

4. 멱급수의 수렴정리

5. 멱급수의 수렴 반지름

6. 멱급수의 수렴성을 판정하는 법

7. 형식적 멱급수 formal power series

8. tmp; Stewart Appendix F에서. TOMOVE

8.1. 수렴발산관련 page A49
8.2. p A50

9. 관련

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1. 진법, 수 체계와의 관련 ¶

A number is expressed with a power series in base(radix) r.

$(a_na_{n-1}\cdots a_1a_0.c_1 c_2 c_3\cdots)_b = \sum_{k=0}^n a_kb^k + \sum_{k=1}^\infty c_kb^{-k}$

관련 페이지: 기수법,numeral_system

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2. 함수를 멱급수로 나타내기 representations of functions as power series ¶

예: $|x|<1$ 이면

$\frac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$

응용:

$\frac1{1+x^2}=\frac1{1-(-x^2)}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$
$(|-x^2|<1)$

$\Leftrightarrow x^2<1$
$\Leftrightarrow -1<x<1$

$\frac1{x+2}$

$=\frac1{2+x}$
$=\frac12 \frac1{1+\frac{x}{2}}$
$=\frac12 \frac1{1-\left(-\frac{x}{2}\right)}$
$=\frac12\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^n$
$=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{2^{n+1}}$

$\left| -\frac{x}{2} \right| < 1$

$\Leftrightarrow |x|<2$
$\Leftrightarrow -2<x<2$

$\frac{x^3}{x+2}=\frac{x^3}{2}\left(\frac1{1-\left(-\frac{x}{2}\right)}\right)=\frac{x^3}{2}\left(1-\frac{x}2+\frac{x^2}{2^2}-\frac{x^3}{2^3}+\cdots\right)$

$=\frac{x^3}{2}-\frac{x^4}{2^2}+\frac{x^5}{2^3}-\frac{x^6}{2^4}+\cdots\;(|-\frac{x}2|<1,\,|x|<2)$

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3. 멱급수전개 power series expansion ¶

later 멱급수전개,power_series_expansion
Up: 전개,expansion

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$

sin, cos의 첫 항을 기억해내는 방법은 그래프를 생각하는 것

$e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

$\ln(1+x)=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac1{4}x^4+\cdots$

$\tan^{-1}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$

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4. 멱급수의 수렴정리 ¶

멱급수

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots$

이

$x=c\ne 0$ 에서 수렴하면, $|x|<|c|$ 일 때 절대수렴,absolute_convergence한다.

한편

$x=d$ 에서 발산하면, $|x|>|d|$ 일 때 발산한다.

(Thomas 13e ko)

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5. 멱급수의 수렴 반지름 ¶

멱급수 $f(x)=\sum c_n x^n$ 을 고려하자. 급수의 수렴 혹은 발산은 입력 변수 $x$ 를 어떻게 선택하느냐에 따라 달라진다. 수렴 반지름은 $\rho$ 로 표기하는데, 이 값은 n제곱근 판정법 혹은 비율 판정법을 사용하여 구할 수 있다.

$\frac{1}{\rho}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|$

멱급수 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n x^n$ 은 모든 $-\rho<x<\rho$ 에 대해 수렴한다.

(Ivan Savov)

… 지금까지 공부한 것에 의하면 급수 $\textstyle\sum c_n(x-a)^n$ 의 수렴에 대해 세 가지가 가능하다. 즉 $x=a$ 에서만 수렴하거나, 모든 점에서 수렴하거나, $x=a$ 를 중심으로 반지름이 $R$ 인 어떤 구간에서 수렴한다. …

(위 '멱급수의 수렴정리'의 따름정리)

급수 $\sum c_n (x-a)^n$ 의 수렴성은 다음 세 가지 중의 하나이다.

양수 $R$ 이 존재하여
$|x-a|>R$ 인 모든 $x$ 에 대하여 발산하고 // 반지름,radius밖에선 발산,divergence
$|x-a|<R$ 인 모든 $x$ 에 대해 절대수렴한다. // 반지름 안에선 절대수렴,absolute_convergence
양 끝점인 $x=a-R,\;x=a+R$ 에서는 급수에 따라 수렴할 수도 있고 발산할 수도 있다.
모든 $x$ 에 대해 절대수렴한다. - $R=\infty$ 인 경우
$x=a$ 에서만 수렴하고 그 외 모든 점에서 발산한다 - $R=0$ 인 경우

(중략)

$R$ 을 멱급수의 수렴반지름,convergence_radius이라 하고,
$x=a$ 를 중심으로 하는 반지름이 $R$ 인 구간,interval을 수렴구간,convergence_interval이라 한다.

(Thomas 13e ko)

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6. 멱급수의 수렴성을 판정하는 법 ¶

1. 비판정법이나 근판정법을 써서 급수가 절대수렴,absolute_convergence하는 구간을 찾는다. 보통 다음과 같은 개구간을 얻게 된다.

$|x-a|<R$ 또는 $a-R<x<a+R$

2. 절대수렴하는 구간이 유한한 구간이면 양 끝점에서 비교판정, 적분판정, 교대급수판정 등을 써서 수렴, 발산 여부를 조사한다.
3. 절대수렴하는 구간이 $a-R<x<a+R$ 이면 급수는 $|x-a|>R$ 에서 발산한다(조건수렴도 하지 못한다). 이는 이 범위에서는 $n$ 번째 항이 $0$ 으로 수렴하지 못하기 때문이다.

(Thomas 13e ko)

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