Sub:
{
유형에 따른 분류
상미분방정식,ordinary_differential_equation,ODE
편미분방정식,partial_differential_equation,PDE ...등등 분류는 아래 section 1에 있는데 서서히 여기로 mv.
완전미분방정식,exact_differential_equation
자율미분방정식,autonomous_differential_equation
확률미분방정식,stochastic_differential_equation
초기값문제,initial_value_problem,IVP - writing
경계값문제,boundary_value_problem,BVP - writing
각각 다음과 대응? chk
초기조건,initial_condition
경계조건,boundary_condition
tmp편미분방정식,partial_differential_equation,PDE ...등등 분류는 아래 section 1에 있는데 서서히 여기로 mv.
완전미분방정식,exact_differential_equation
자율미분방정식,autonomous_differential_equation
확률미분방정식,stochastic_differential_equation
초기값문제,initial_value_problem,IVP - writing
경계값문제,boundary_value_problem,BVP - writing
각각 다음과 대응? chk
초기조건,initial_condition
경계조건,boundary_condition
{
유형에 따른 분류
독립변수,independent_variable 개수에 따라
- 상미분방정식 : 독립변수가 1개
- 편미분방정식 : 독립변수가 2개 이상
상미분_방정식 ordinary_differential_equation, ODE
first-order_ordinary_differential_equation first-order_ODE
선형_방정식 - 한줄 "왼쪽 식과 오른쪽 식이 둘 다 변수의 선형 함수를 갖는 방정식"first-order ordinary differential equation
https://mathworld.wolfram.com/First-OrderOrdinaryDifferentialEquation.html
https://mathworld.wolfram.com/First-OrderOrdinaryDifferentialEquation.html
선형_미분방정식 linear_differential_equation - 세줄. 간결.
https://everything2.com/title/linear differential equation
https://everything2.com/title/linear differential equation
선형_상미분방정식 linear_ordinary_differential_equation, linear_ODE
{
계 상미분방정식(nth-order ODE) 에서 가 에 대해 선형이면(선형성,linearity)
계 선형 상미분방정식.
{
계 상미분방정식(nth-order ODE) 에서 가 에 대해 선형이면(선형성,linearity)
계 선형 상미분방정식.
일계_선형미분방정식
linear_first-order
https://calculus.subwiki.org/wiki/First-order_linear_differential_equation
linear_first-order
이계_선형_미분방정식
이계_선형상미분방정식
linear_second-order
선형 상미분방정식의 두 특성:
이계_선형상미분방정식
linear_second-order
- 종속변수 와 그것의 모든 도함수들 은 1차이다. 즉 를 포함하는 각각의 항들은 1차 거듭제곱이다.
- 의 계수함수 들은 독립변수 만의 함수이다.
비선형 상미분방정식에는 '비선형 항'이 있어서 구별할 수 있는 듯.
비선형 상미분방정식의 예와 그 방정식이 비선형인 이유 example. (Zill)
}
비선형 상미분방정식의 예와 그 방정식이 비선형인 이유 example. (Zill)
비선형 ODE | 비선형 항 | 설명 |
앞의 계수함수는 만의 함수여야 하는데 를 포함하고 있음 | ||
에 대한 선형이 아님 | ||
거듭제곱이 1이 아님 .... // 참고로, 즉 가 저 자리에 있었으면 선형이지만 가 있으니 비선형. |
초기하_미분방정식 hypergeometric_differential_equation, hypergeometric_equation
rel. 초기하급수,hypergeometric_series-writing
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hypergeometric_equation - Gauss equation
http://mathonline.wikidot.com/differential-equations - good, 정리 + 간단한 예제https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hypergeometric_equation - Gauss equation
2nd order ODE.
tmp
{
검색으로 나온
knu 2011-2 미분방정식 시험 3 pdf => http://bh.knu.ac.kr/~ilrhee/lecture/exam/2011-2-mibun-exam3-ans.pdf
URL에서
http://bh.knu.ac.kr/~ilrhee/
경북대 이일수 교수(물리) 홈페이지. 일반물리 / 현대물리 / 미분방정식 / 전자회로 강의 자료 있음.
}
{
검색으로 나온
knu 2011-2 미분방정식 시험 3 pdf => http://bh.knu.ac.kr/~ilrhee/lecture/exam/2011-2-mibun-exam3-ans.pdf
URL에서
http://bh.knu.ac.kr/~ilrhee/
경북대 이일수 교수(물리) 홈페이지. 일반물리 / 현대물리 / 미분방정식 / 전자회로 강의 자료 있음.
}
}
Sub:
{
미방 해결 기술들 techniques:
{
미방 해결 기술들 techniques:
미정계수법 method_of_undetermined_coefficients
writing
writing
ㅁㅁ감소법? (order를 뭘로 번역하느냐에 따라 계수감소법 or 차수감소법, 근데 계수는 coefficient랑 번역이 겹치고..) reduction_of_order order_reduction
writing
writing
매개변수변환법(번역은 wpko) variation_of_parameters
writing
writing
프로베니우스 방법/해법
Frobenius_method
특정 종류의 linear ODE를 멱급수전개,power_series_expansion로 푸는 방법
프로베니우스_방법
Frobenius_method
Frobenius_method
특정 종류의 linear ODE를 멱급수전개,power_series_expansion로 푸는 방법
프로베니우스_방법
Frobenius_method
}
Contents
미지함수의 도함수(미분,derivative)를 포함하는 방정식
ex.
(page links: 방정식,equation, 미분,differential, 차분,difference=차이,difference, 차분방정식,difference_equation, 수,number, 함수,function, 수열,sequence)
의 해는 수 하나
... 의 해는 두 수
의 해는 두 수 (수의 순서쌍)의 집합
의 해는 함수 (의 집합?)
다음 항상 옳은지 CHK... 의 해는 두 수
의 해는 두 수 (수의 순서쌍)의 집합
의 해는 함수 (의 집합?)
해,solution | |
그냥 방정식 | 숫자 |
미분 방정식 | 함수 |
차분 방정식 | 수열 |
종속변수 의 도함수를 포함하는 방정식, 즉 등을 포함하는 방정식
하나 이상의 독립변수에 대해, 하나 이상의 종속변수의 도함수(derivative)를 포함하는 방정식
(See also 독립변수와_종속변수)
종속변수를 독립변수에 대해 미분한 도함수를 포함하는 방정식
하나 이상의 독립변수에 대해, 하나 이상의 종속변수의 도함수(derivative)를 포함하는 방정식
(See also 독립변수와_종속변수)
종속변수를 독립변수에 대해 미분한 도함수를 포함하는 방정식
미분이란 변화율이고,
미분방정식이란 변화율의 방정식
미분방정식이란 변화율의 방정식
풀 때
방향장,direction_field과 integral curve(적분 곡선, 해곡선)
를 그리기도 한다. 해의 정성적인 성질을 파악할 수 있다. 구체적인 해를 구하기는 힘들다.
방향장,direction_field과 integral curve(적분 곡선, 해곡선)
를 그리기도 한다. 해의 정성적인 성질을 파악할 수 있다. 구체적인 해를 구하기는 힘들다.
1. 미분방정식의 분류 ¶
상미방: 독립변수가 하나인 미분방정식
편미방: 독립변수가 둘 이상인 미분방정식
편미방: 독립변수가 둘 이상인 미분방정식
선형미방: 종속변수가 1차인 항만으로 구성된 미방
비선형미방: 종속변수가 2차 이상인 항이 하나라도 포함된 미방
비선형미방: 종속변수가 2차 이상인 항이 하나라도 포함된 미방
제차미방: 독립변수만으로 된 항이 없는 미방
비제차미방: 독립변수만으로 된 항이 포함된 미방
비제차미방: 독립변수만으로 된 항이 포함된 미방
1.1. 계수, 차수, m계 n차 ¶
계수 | order | 최대 미분 횟수. 방정식에 나타난 최대 미분 수. 미분방정식에 나타난 가장 높은 미분 횟수. |
차수 | degree | 계수가 가장 높은 도함수의 거듭제곱수. |
예
종속변수(보통 y) 차수(degree)가 1차이면 선형, 아니면 비선형.
2계 1차 | |
2계 3차 | |
2계 1차 |
종속변수(보통 y) 차수(degree)가 1차이면 선형, 아니면 비선형.
1.2. form (Zill) ¶
n계 미방의 general form:
n계 미방의 normal form:
즉, 1계 미방의 normal form:
2계 미방의 normal form:
즉, 1계 미방의 normal form:
1.4. 상미분방정식(ODE)과 편미분방정식(PDE) ¶
편미분방정식,partial_differential_equation,PDE
독립 변수 2개 이상
종속 변수 1개 이상
두 개 이상의 독립변수에 대한 도함수(편미분)을 포함하는 방정식
독립 변수 2개 이상
종속 변수 1개 이상
두 개 이상의 독립변수에 대한 도함수(편미분)을 포함하는 방정식
편미방 중에서,
선형 편미방: 풀고자 하는 함수의 편도함수들과 함수의 차수가 모두 1차
비선형 편미방: 그렇지 않은 경우
비선형 편미방: 그렇지 않은 경우
1.5. 제차(homogeneous), 비제차(nonhomogeneous) 미분방정식 ¶
is called homogeneous if does not contain a term which contains only.
만으로 이루어진 항이 등장하지 않을 때 homogeneous.
Homogeneous가 아니면 inhomogeneous.
Ex.
만으로 이루어진 항이 등장하지 않을 때 homogeneous.
Homogeneous가 아니면 inhomogeneous.
Ex.
은 inhomogeneous.
은 homogeneous.
(최정환)은 homogeneous.
1.6. 선형/비선형 ¶
선형성,linearity 유무에 따라, 선형linear/비선형nonlinear 미분방정식으로 나눔.
선형미분방정식: 종속변수와 그 도함수가 모두 1차인 미방
비선형미분방정식: 선형이 아닌 경우
비선형미분방정식: 선형이 아닌 경우
선형미분방정식: 에 대해 선형
즉 꼴
비선형 미분방정식: 선형이 아닌 방정식선형이 되기 위해서는 y와 그 도함수가 1차이어야 하며 그 계수가 독립변수에만 의존해야 한다.
linearity: linear한 미분방정식은,
특히, 다음 두 가지가 중요
linearity: linear한 미분방정식은,
linear first-order (n=1)
linear second-order (n=2)
linear하지 않으면 nonlinear.여기서 이면 homogeneous, 아니면 nonhomogeneous.
양변을 로 나누면 다음 standard form이 된다.3. 해 (solution) ¶
해,solution(writing)
미분방정식의 해 (solution) : 미분방정식에 대입하면 방정식이 만족되는 것. 함수임. 함수를 미분방정식에 대입하여 (QQQ: 어떤 구간의 모든 점에 대해? 항상 이런 조건? CHK - Stewart 미방 소개 앞부분.) 만족하면 해.
미분방정식의 해 (solution) : 미분방정식에 대입하면 방정식이 만족되는 것. 함수임. 함수를 미분방정식에 대입하여 (QQQ: 어떤 구간의 모든 점에 대해? 항상 이런 조건? CHK - Stewart 미방 소개 앞부분.) 만족하면 해.
해가 '값'인 그냥 방정식과는 달리, 미분방정식은 해가 '함수' 꼴이므로, 이걸로 곡선,curve 그래프를 그릴 수 있다. 해곡선(solution curve)을 그릴 수 있다. CHK // 해곡선,solution_curve
특수해 (particular solution) : 임의의 상수(? 일반해에 나오는 적분상수?)에 특정한 값을 대입한 해
특이해 (singular solution) :특수해가 아닌 해
특수해,particular_solution
특이해,singular_solution
어떤 경우에 해당?
해곡면 뭐 이런 건 없나?
일반해 (general solution) : 계수만큼 상수를 가진 해해곡면 뭐 이런 건 없나?
특수해 (particular solution) : 임의의 상수(? 일반해에 나오는 적분상수?)에 특정한 값을 대입한 해
특이해 (singular solution) :
보통 일반해 형태로 나타낼 수 없는 경우를 특이해라 하고, 그 외의 의미는 해가 특이점,singularity을 갖는 경우와 해의 유일성,uniqueness이 성립하지 않는 경우의 해를 뜻한다고 함. [2]
일반해,general_solution특수해,particular_solution
특이해,singular_solution
trivial solution
{
미분방정식의 일반해는 (대체로?) 무한 개의 해를 가질 수 있다... 그래서
암튼 별 의미는 없을것같은데, 일반적으로 어떤 DE의 해의 개수? (cardinality 연산자 써서)로 따지면 |일반해의집합| > |특수해의집합|
자명해,trivial_solution는 일반적으로 별 쓸모가 없는듯??? why?
자명해?
대충내생각, not sure, chk{
미분방정식의 일반해는 (대체로?) 무한 개의 해를 가질 수 있다... 그래서
암튼 별 의미는 없을것같은데, 일반적으로 어떤 DE의 해의 개수? (cardinality 연산자 써서)로 따지면 |일반해의집합| > |특수해의집합|
자명해,trivial_solution는 일반적으로 별 쓸모가 없는듯??? why?
일반해 : 어떤 (매개변수?)가 아직 정의되지 않고 적분상수처럼 있는, 그래서 경우가 너무 많은, 그런 경우
특수해 : particular. 그것이 특정 값으로 확정/특정되어 해가 특정하게 정해진 그런 경우
특이해 : singular. (어떤 매개변수를 택해도 안 되는, 매개변수로 표현을 할 수 없는)
자명해 : 뻔하고 간단하지만 (대체로) 쓸모는 없는 그런 해
특수해 : particular. 그것이 특정 값으로 확정/특정되어 해가 특정하게 정해진 그런 경우
특이해 : singular. (어떤 매개변수를 택해도 안 되는, 매개변수로 표현을 할 수 없는)
자명해 : 뻔하고 간단하지만 (대체로) 쓸모는 없는 그런 해
trivial_solution 은 왠지 (방정식 등의) degenerate_case 와 관련이 있나? 그럴 것 같은 느낌
}
}
explicit solution: ex.
implicit solution: ex.
implicit solution: ex.
general solution:
particular solution:
particular solution:
initial solution이 주어져 있어서 C를 구할 수 있는 경우
singular solution: a solution that cannot be expressed by the general solution3.1. 해의 종류 ¶
일반해(general solution)
특수해(particular solution)
특이해(singular solution)
자명해(trivial solution)
특수해(particular solution)
특이해(singular solution)
자명해(trivial solution)
chk
{
특수해: 해곡선 solution_curve
일반해: 해곡선의 집합
}
{
특수해: 해곡선 solution_curve
일반해: 해곡선의 집합
}
3.3. 미분방정식의 해 ¶
주어진 미분방정식을 만족하는 독립변수와_종속변수 사이의 관계를 얻었을 때 그 관계(방정식)를 미분방정식의 해라고 한다.
- 일반해 : 임의의 상수를 포함하는 해
- 특수해 : 일반해의 상수가 조건을 만족하는 해
- 특이해 : 미분방정식을 풀어서 구할 수 없는 해
5.3. 빗방울의 낙하 ¶
시각 일 때 떨어지기 시작하면, 시각 일 때 속도 는?
빗방울에 작용하는 힘,force은 아래쪽으로 위쪽으로 저항력
그래서 지구 방향으로 잡아당기는 힘은
그리고 이것이 이므로
양변을 으로 나누면
Ref. 10개의 특강으로 끝내는 수학의 기본 원리
빗방울에 작용하는 힘,force은 아래쪽으로 위쪽으로 저항력
그래서 지구 방향으로 잡아당기는 힘은
(← 미분방정식)
풀면5.4. Population ¶
Exponential growth model.
박테리아의 개체수(population)를 P라 하고, 영양분과 공간이 충분하다고 가정할 때, 성장률(비율,rate of growth)은 개체수에 비례한다.
이것의 답은
박테리아의 개체수(population)를 P라 하고, 영양분과 공간이 충분하다고 가정할 때, 성장률(비율,rate of growth)은 개체수에 비례한다.
5.5. 예제: RC회로 ¶
RC회로,RC_circuit
from 차동우 대학물리 p100
일단
RC회로에 키르히호프의 고리법칙을 적용하면
1차 미분방정식이므로 항상 적분에 의해 풀 수 있다.
시간 0~t에 대해 적분한다면 전하에 대해서는 q(0)~q(t)까지 적분하여야 한다.
(q(0)=q0, q(t)=q로 책에는 표기)
우변은 -t/RC이고 좌변은
따라서,
대부분 스위치를 닫는 순간에는 축전기에 대전된 전하가 q0=0인 경우가 많으며 그런 경우엔
i(t)는 전하를 시간으로 미분하면 구할 수 있으므로
q-t 그래프: 0에서 시작, Cℰ까지 증가 (점근)
i-t 그래프: ℰ/R에서부터 감소, 0까지 점근
from 차동우 대학물리 p100
일단
우변은 -t/RC이고 좌변은
i-t 그래프: ℰ/R에서부터 감소, 0까지 점근
5.6. Examples from 최정환 ¶
CHK:
linear DE: y, y', ... 이것들이 선형결합한것
nonlinear DE: yy' 같은 항들이 있는것
linear DE: y, y', ... 이것들이 선형결합한것
nonlinear DE: yy' 같은 항들이 있는것
homogeneousness:
is a solution; is also a solution.
2.
(naver 어학사전: 같은 종류의 것으로 됨; 동일 조직임)
F(y, …, y(n), x) = 0에서 x만으로 된 항,term이 등장하지 않으면 homogeneous하다.
x만으로 된 term이 등장하면 inhomogeneous.
1.F(y, …, y(n), x) = 0에서 x만으로 된 항,term이 등장하지 않으면 homogeneous하다.
x만으로 된 term이 등장하면 inhomogeneous.
is a solution; is also a solution.
is a solution of
12.1. natural growth/decay ¶
시각 에서 수량이 이고, 에 관한 의 변화율이 항상(임의의 시각에서) 에 비례한다면,
여기서 는 상수이고,
: law of natural growth
: law of natural decay
: law of natural growth
: law of natural decay
이것의 유일한 해는 지수함수,exponential_function인 이다. (Stewart 8e ko p390)
12.3. Excerpt: 김홍종 미적1+ ¶
(미방에 대한 intro)
방사능 물질 붕괴 - 매 순간 붕괴하는 양은 현재의 질량에 비례하여 나타나므로
같은 미분방정식으로 나타나고, 은행에 예금한 돈에 이자가 붙어 늘어나는 것은 // 현재 돈에 비례하므로
같은 식으로 나타난다. 이와 같이 어떤 함수 와 그 도함수 등이 어떤 관계식
으로 표현될 때, 이 식을 미분방정식이라 부르고, 이러한 식을 만족시키는 함수 를 구하는 것을 '미분방정식을 푼다'고 말한다.
방사능 물질 붕괴 - 매 순간 붕괴하는 양은 현재의 질량에 비례하여 나타나므로
두번째 식을 풀어 보자. 물론 이 식을 만족시키는 함수 는 미분가능함수,differentiable_function이고, 따라서 연속함수,continuous_function라야 할 것이다.
그런데 의 도함수 가 이므로, 는 연속함수이다.
이와 같이 도함수가 연속인 함수를 일급미분가능함수(differentiable function of class 𝒞1) 또는 줄여서 일급함수(𝒞1 함수)라고 부른다.
한편 가 일급함수 와 같으므로, 는 또 다시 미분가능하고
이므로 는 이급함수(𝒞2 함수)이다. 이와 같이 처음에 주어진 관계식에서 새로운 관계식
가 얻어지고, 이로부터 미분방정식의 해는, 만약 존재한다면, 무한급 함수 즉 𝒞∞ 함수라는 것을 알 수 있다. 그러므로 처음에 예금한 금액을 라고 하면,
이고, 따라서 가 거듭제곱급수(=멱급수,power_series) 함수라면
이라야 함을 알 수 있다.
그런데 의 도함수 가 이므로, 는 연속함수이다.
이와 같이 도함수가 연속인 함수를 일급미분가능함수(differentiable function of class 𝒞1) 또는 줄여서 일급함수(𝒞1 함수)라고 부른다.
한편 가 일급함수 와 같으므로, 는 또 다시 미분가능하고
이제 초기 조건이 주어진 미분방정식 // initial_value_problem
을 만족시키는 함수는 뿐임을 보여보자. 만약 가 위의 초기조건이 주어진 방정식의 해라면, // 음의 부호가 왜 나오지? 지금까지 다루던 두번째 방정식 말고 첫번째 붕괴 방정식?
이고, 따라서 는 상수이다. 이 상수는 을 대입하면 이므로,
이다.
(김홍종 미적1+ p96)
13. 미분방정식 vs 대수방정식 ¶
이하 대충 상식으로 적었으므로 chk
... 미분방정식 대수방정식 비교
대수방정식 | 미분방정식 | |
해,solution | 수,number | 함수,function |
해의 개수 | 1개 | 집합,set 형태라 무한히 많을 수 있음 - 앞에 곱해지는 상수,constant나 더해지는 적분상수,integration_constant가 무한히 많을 수 있어서 |
... 미분방정식 대수방정식 비교
16. 관련주제, 추가예정, tbw ¶
AKA 미방, diff eq
Twins:
미분방정식
미분방정식
수학백과: 미분방정식 (easy)
두산백과: 미분방정식
경제학사전: 미분방정식
https://everything2.com/title/Differential equation
https://planetmath.org/differentialequation
https://ncatlab.org/nlab/show/differential equation (very hard)
미분방정식
미분방정식
수학백과: 미분방정식 (easy)
두산백과: 미분방정식
경제학사전: 미분방정식
https://everything2.com/title/Differential equation
https://planetmath.org/differentialequation
https://ncatlab.org/nlab/show/differential equation (very hard)
https://en.citizendium.org/wiki/Differential_equation
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Differential_Equation
https://calculus.subwiki.org/wiki/Differential_equation
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Differential_Equation
https://calculus.subwiki.org/wiki/Differential_equation