t를 시간, C를 시간 t에서의 물체의 궤적,
![$C(t)=(x(t),y(t),z(t))$ $C(t)=(x(t),y(t),z(t))$](/123/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large C(t)=(x(t),y(t),z(t)))
t=a일 때의 시점(initial point)![$(x(a),y(a),z(a))$ $(x(a),y(a),z(a))$](/123/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large (x(a),y(a),z(a)))
t=b일 때의 종점(terminal point)![$(x(b),y(b),z(b))$ $(x(b),y(b),z(b))$](/123/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large (x(b),y(b),z(b)))
시점과 종점이 같은 경우 closed
이렇게 생각할 수 있음
(continuous, differentiable, simple, smooth는 생략 - 책 참조)
t=a일 때의 시점(initial point)
t=b일 때의 종점(terminal point)
시점과 종점이 같은 경우 closed
이렇게 생각할 수 있음
(continuous, differentiable, simple, smooth는 생략 - 책 참조)
나중에 TBW
(O'Neil 7e 12.1 p367)
책 앞 line integral 표기법 안내:
위와 마찬가지.
일 때.
line integral of
over
w.r.t. arc_length
z축이
인 그래프를 그리고 설명함
![$x=g(t)$ $x=g(t)$](/123/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large x=g(t))
![$y=h(t)$ $y=h(t)$](/123/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large y=h(t))
![$a\le t \le b$ $a\le t \le b$](/123/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large a\le t \le b)
2차원 평면에서 arc_length(curr goto 호,arc)의 매우 작은 변화 (미분,differential) ds는
(피타고라스 정리)
구하는 것은
(이하 t=a에서 t=b 까지 가는 것을 곡선 C?라고 표시)
![$=\int_C f(x(t),y(t))\sqrt{dx^2+dy^2}$ $=\int_C f(x(t),y(t))\sqrt{dx^2+dy^2}$](/123/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large =\int_C f(x(t),y(t))\sqrt{dx^2+dy^2})
이것을 t에 대해 나타내야 하므로
![$=\int_C f(x(t),y(t))\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt$ $=\int_C f(x(t),y(t))\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt$](/123/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large =\int_C f(x(t),y(t))\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt)
위 조건에서
...
from Khan: Introduction to the line integral https://youtu.be/_60sKaoRmhU
벡터장,vector_field 안에서만 의미가 있나?
벡터장 A, 곡선 L이 주어질 때, L위의 점 a에서 b까지 움직이면서 미소길이(접선,tangent_line방향의 매우 짧은 벡터, 접벡터,tangent_vector 인지 CHK)
이 받는 A의 영향은 스칼라곱,scalar_product,dot_product
![$\vec{A}\cdot d\vec{\ell}$ $\vec{A}\cdot d\vec{\ell}$](/123/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large \vec{A}\cdot d\vec{\ell})
이고 이것을 선적분하면 (두번째 식은 개곡선일때만)
![$\int_L \vec{A}\cdot d\vec{\ell} = \int_a^b \vec{A}\cdot d\vec{\ell}$ $\int_L \vec{A}\cdot d\vec{\ell} = \int_a^b \vec{A}\cdot d\vec{\ell}$](/123/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large \int_L \vec{A}\cdot d\vec{\ell} = \int_a^b \vec{A}\cdot d\vec{\ell})
이고 폐경로일땐(원래 자리로 돌아옴, 즉 a→b→a→b..., 순환circulation)
대신 ![$\oint$ $\oint$](/123/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large \oint)
를 씀?
벡터장 A, 곡선 L이 주어질 때, L위의 점 a에서 b까지 움직이면서 미소길이(접선,tangent_line방향의 매우 짧은 벡터, 접벡터,tangent_vector 인지 CHK)
from https://www.youtube.com/watch?v=r4okf9RAVWo ; CHK
Related: 보존력,conservative_force개념과 깊은 연관이 있는듯?
알짜힘이 다음과 같으므로
![$F(r(t))\cdot r'(t)$ $F(r(t))\cdot r'(t)$](/123/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large F(r(t))\cdot r%27(t))
a에서 b까지 받은 바람의 영향의 총합은
![$\int F(r(t))\cdot r^{\prime}(t)dt$ $\int F(r(t))\cdot r^{\prime}(t)dt$](/123/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large \int F(r(t))\cdot r^{\prime}(t)dt)
여기서
![$r^{\prime}(t)=\frac{dr(t)}{dt}$ $r^{\prime}(t)=\frac{dr(t)}{dt}$](/123/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large r^{\prime}(t)=\frac{dr(t)}{dt})
![$dr(t)=r^{\prime}(t) dt$ $dr(t)=r^{\prime}(t) dt$](/123/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large dr(t)=r^{\prime}(t) dt)
이므로 적분식은
![$\int F(r)\cdot dr$ $\int F(r)\cdot dr$](/123/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large \int F(r)\cdot dr)
이 된다
scalar field에서는
vector field에서는
W = F · s 와 관련이 깊다.
![$W=\vec{F}\cdot \vec{s}$ $W=\vec{F}\cdot \vec{s}$](/123/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large W=\vec{F}\cdot \vec{s})
![$W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{s}$ $W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{s}$](/123/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{s})
↓
2020-09-18
line 대신 curve 라고도 하나보다 (이게 더 옳지 않나? line은 보통 직선 뉘앙스 아닌가)
선적분 curve integral https://pinkwink.kr/215
line 대신 curve 라고도 하나보다 (이게 더 옳지 않나? line은 보통 직선 뉘앙스 아닌가)
선적분 curve integral https://pinkwink.kr/215
선적분
![$\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}$ $\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}$](/123/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large \int_C \vec{F}\cdot d\vec{r})
에서
: 적분할 경로
: 피적분함수
특히 적분할 경로가 폐곡선인 경우,
기호를 쓰며, 값을
의
에 대한 circulation이라고 부름
2020-09-16 from https://www.youtube.com/watch?v=Sa7xDuWEvZ4 스토크스 정리와 다이버젠스 정리 5:30 (차동우)