선적분,line_integral

선적분,line_integral (rev. 1.35)

선적분

$\int_L \vec{A}\cdot d\vec{\ell}$

은 곡선 $L$ 을 따른 $\vec{A}$ 의 접선성분의 적분이다.

$\vec{A}$ : 벡터장,vector_field
$L$ : 곡선,curve

(Sadiku 3.3)

우선 곡선,curve C를 정의: 매개변수방정식,parametric_equation

$x=x(t),\,y=y(t),\,z=z(t)\textrm{ for }a \le t \le b$

(이것들을 좌표함수(coordinate functions)라 함)

t를 시간, C를 시간 t에서의 물체의 궤적,
$C(t)=(x(t),y(t),z(t))$
t=a일 때의 시점(initial point) $(x(a),y(a),z(a))$
t=b일 때의 종점(terminal point) $(x(b),y(b),z(b))$
시점과 종점이 같은 경우 closed
이렇게 생각할 수 있음
(continuous, differentiable, simple, smooth는 생략 - 책 참조)

나중에 TBW

(O'Neil 7e 12.1 p367)

책 앞 line integral 표기법 안내:

$\textstyle\int\nolimits_C fdx+gdy+hdz$
$\textstyle\int\nolimits_C \vec{F}\cdot d\vec{R}$ 위와 마찬가지. $\vec{F}=f\vec{i}+g\vec{j}+h\vec{k}$ 일 때.
$\textstyle\int\nolimits_C f(x,y,z)ds$ line integral of $f$ over $C$ w.r.t. arc_length

z축이 $f(x,y)$ 인 그래프를 그리고 설명함

$x=g(t)$
$y=h(t)$
$a\le t \le b$

2차원 평면에서 arc_length(curr goto 호,arc)의 매우 작은 변화 (미분,differential) ds는

$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$ (피타고라스 정리)

구하는 것은

$\int_{t=a}^{t=b}f(x,y)ds$ (이하 t=a에서 t=b 까지 가는 것을 곡선 C?라고 표시)
$=\int_C f(x(t),y(t))\sqrt{dx^2+dy^2}$

이것을 t에 대해 나타내야 하므로

$=\int_C f(x(t),y(t))\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt$

위 조건에서 $dx/dt=g'(t),\,dy/dt=h'(t)$ ...

from Khan: Introduction to the line integral https://youtu.be/_60sKaoRmhU

벡터장,vector_field 안에서만 의미가 있나?
벡터장 A, 곡선 L이 주어질 때, L위의 점 a에서 b까지 움직이면서 미소길이(접선,tangent_line방향의 매우 짧은 벡터, 접벡터,tangent_vector 인지 CHK) $\vec{\ell}$ 이 받는 A의 영향은 스칼라곱,scalar_product,dot_product

$\vec{A}\cdot d\vec{\ell}$

이고 이것을 선적분하면 (두번째 식은 개곡선일때만)

$\int_L \vec{A}\cdot d\vec{\ell} = \int_a^b \vec{A}\cdot d\vec{\ell}$

이고 폐경로일땐(원래 자리로 돌아옴, 즉 a→b→a→b..., 순환circulation)

$\int$ 대신 $\oint$

를 씀?

from https://www.youtube.com/watch?v=r4okf9RAVWo ; CHK

선적분의 적분구간 시작과 끝, 매개변수가 모두 위치벡터,position_vector일 수 있다.
(오래 전 만든 퍼텐셜에너지,potential_energy페이지에 예제)
$\int_{\vec{r_1}}^{\vec{r_2}}\vec{F}(\vec{r})\cdot\vec{dr}$

Related: 보존력,conservative_force개념과 깊은 연관이 있는듯?

from http://mathnmath.tistory.com/100

알짜힘이 다음과 같으므로