기호
함수
의 역함수:
"f inverse"라고 읽는다.
f: X→Y ⇔ f
-1: Y→X
함수
에 대해 함수
가 존재하여
와
는 서로 역함수이며
로 표시한다.
If
is a one-to-one function, then
(Thomas Calculus 13e p42)
함수
가 정의역 A, 치역 B인 일대일함수(
one-to-one function with domain A and range B)이면
그
역함수(inverse function)
는 정의역 B와 치역 A를 가지며,
(B에 있는 임의의 y) 에 대해 다음과 같이 정의된다.
(Stewart)
(그래프에서 보면/기하적으로)
의 그래프는
의 그래프와 직선
에 대해 대칭.
1. 서로 역함수인 함수들 ¶
CHK; 2020-10-25
{
다만 위의 것들은 서로 '정교하게 들어맞는 완벽한 엄밀한'(?) 역함수 관계는 아님. 필요는 한데 일대일대응이 불가능한 경우가 많음. 그래서 arcxxx 함수는 원 함수(xxx)의 정의역이나 치역의 일부만 잘라서(piecewise?) 정의하거나 하는 등의 방법을 쓰는 듯. (see calculus textbooks' trig chapter)
역함수의 정의에 들어맞는 '엄밀한'(?) 역함수를 가지는 필요충분조건은 bijection인듯.
"역함수를 가질 필요 충분 조건은 전단사 함수이다." from
역함수
바로 밑에도 있음.
multivariable, multivariate, multivalued 등 이런 개념을 도입하면 제약에서 벗어나지만 대신 엄밀한 (역)함수는 아니게 됨.
이것은
주치,principal_value 개념과도 연관.
그것을 표기하는 notation중 하나인 첫 글자 대문자(capitalization) convention을 사용하여 arcsin vs Arcsin 이런 것도 보았는데 완전히 지배적으로(de facto 표준이 되어) 쓰이지는 않는 듯..?
참고..
역삼각/역쌍곡선 함수의 표현/표기/이름/notation은 통일되지 않음.
ex. sin을 예로 들면
arcsin
Arcsin (아마 principal value만 뽑았음을 강조하는 표기?)
arsin
asin
sin-1
Sin-1 (이것도 principal value 〃)
}
3. 역함수의 도함수, 역함수 미분법 ¶
// tmp; merge; just moved from 함수
(Thm.) If
is a one-to-one differentiable function with inverse function
and
then the inverse function is differentiable at
and
(Proof) 미분의 정의를 이용하면
If
then
And if we let
then
Since
is differentiable, it is continuous, (미분가능하면 연속) so
is continuous.
Thus if
then
that is,
Therefore
(Stewart 9e Appendix F Section 3.6 page A46)
역함수 관계식
양변을 미분
연쇄법칙
(Thomas 2.8 p119)
4. 역함수정리 inverse function theorem ¶
(김홍종 미적1+ p87 정리 6.1.4)
TODO 밑에 역함수미분공식과 MERGE?
5. (정리) f: 연속 ⇔ f-1: 연속 ¶
7. TBW later; + fork to 'inverse' and '역' page ¶
'반대' 의미의 역으로 번역되는 것은 inverse 외에 converse, reverse, reciprocal(ex. 역수), anti-(ex. 역도함수), back-, (arc-, ar-: 역삼각과 역쌍곡선 함수의 경우),
등이 있음.(http://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?start=0&sort=ename&key=kname&keyword=%EC%97%AD&alpa=)
역함수의 이름과 관련된 문제. 논리 쪽 용어로는
역=inverse가 아니라,
역=converse, 이=inverse, 대우=contraposition
이다. 그런데
이다.
논리,logic 쪽에선 이=inverse, 역=converse이므로 주의. CHK