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기호 |…|<<tableofcontents>>
= 절대값 함수 =[[절대값함수,absolute_value_function]]
$|x|=\begin{cases}x&(x\ge 0)\\-x&(x<0)\end{cases}$
그래서 그래프가 V 모양.
[[정의역,domain]]은 $(-\infty,\infty)$
[[치역,range]]은 $[0,\infty)$
'''절대값 함수'''의 도함수는 [[부호함수,sign_function]].
$\frac{d}{dx}|x|=\operatorname{sgn}(x)$
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x와 c 사이 거리가 d보다 작고, x≠c 이다.[[거리,distance]]
[[원점,origin]]에서의 거리 = '''절대값'''?
실직선real_number_line(curr. [[실수,real_number]]), [[복소평면,complex_plane]]에서는 확실. tbw: 확장되면? ex. [[사원수,quaternion]]라던지
두 수의 차의 절대값은 거리와 밀접한데 구체적으로 tbw.
두 [[실수,real_number]]의 [[차이,difference]]의 '''절대값'''은 real_line 위에서 두 실수 사이의 [[거리,distance]]로 해석 가능 - ? 내생각, chk 차원이 높아져서 벡터의 [[뺄셈,subtraction]]의 절대값은 어떤지... chk, 그냥 단순 확장은 아닌듯, 일단 2d평면 위의 거리의 경우만 보면 제곱-합-제곱근이 들어가서... 이건 [[노름,norm]]관련이고...
(cf. [[삼각부등식,triangle_inequality]]에서 벡터의 (뺄셈은 아니고 덧셈)의 절대값이 부등식으로 비교되는데..)
이 사실들은 [[극한,limit]]의 엄밀한 정의([[극한_EpsilonDeltaLimitDefinition]])를 하는데 쓰인다.
= 절대값과 구간 =
'''절대값'''과 [[구간,interval]]
'''절대값'''과 [[구간,interval]]에 대해.
$|x|=a\;\Leftrightarrow\;x=\pm a$
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그렇지 않은 비非아르키메데스 절대값non-archimedean absolute value소수 p에 대해 정의할 수 있는 p진 절대값p-adic absolute value
= 복소수 =
[[복소수,complex_number]]의 절대값은 왜 그렇게 정의? 원점부터의 [[거리,distance]]라서 거리를 일반화 한다 그런건가?복소수의 경우는 '''modulus'''라는 용어도 쓴다.
물론 (실수도 복소수이므로) 실수에서도 '''modulus'''라고 한다.[* [[WpEn:Absolute_value]] 첫 문장 "the absolute value or modulus of a real number x, denoted |x|, …"]
rel. [[complex_modulus]]
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// 복소수의 절대값. rel. [[복소해석,complex_analysis]]
복소수 $z=x+iy$
그것의 켤레([[켤레복소수,complex_conjugate]]) $\bar{z}=x-iy$
해당하는 극좌표 $(r,\theta)$ 즉
$x=r\cos\theta$
$y=r\sin\theta$
$r=\sqrt{x^2+y^2}$
$\tan\theta=y/x$
일 때 $z$ 의 '''절대값'''( '''modulus or the absolute value''' of $z$ )은
$|z|=r$
이며
$|z|=\sqrt{z\bar{z}}$
로 계산할 수도 있다. 그리고 $\theta$ 는 [[편각,argument|argument]] or amplitude of $z$ 이며
$\text{arg}z=\theta$
로 쓴다.
$\theta$ 에 $2\pi$ 의 정수배가 더해져도 $z$ 가 동일한데, $-\pi<\theta\le\pi$ 인 경우를 $\text{arg}z$ 의 [[주치,principal_value]]라 하며 $\text{Arg}z$ 로 쓴다.
(Chan Man Advanced Math)
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[[행렬식,determinant]]은 왜 절대값과 기호가 같음?{
// ALSOIN 행렬식
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}Up: [[수학,math]] [[값,value]]
기호 |…|
2. 성질 ¶
증명 팁:
만 나오는 경우는 으로 경우를 나누어 본다.
가 나오는 경우는 (...등등) 으로 나누어 본다.
(Easy) Suppose Then가 나오는 경우는 (...등등) 으로 나누어 본다.
- iff
- iff
- iff or
3. Geometric interpretations ¶
x와 c 사이 거리가 d이다.
x와 c 사이 거리가 d보다 크다.
x와 c 사이 거리가 d보다 작다.
x와 c 사이 거리가 d보다 작고, x≠c 이다.
거리,distance원점,origin에서의 거리 = 절대값?
실직선real_number_line(curr. 실수,real_number), 복소평면,complex_plane에서는 확실. tbw: 확장되면? ex. 사원수,quaternion라던지
두 수의 차의 절대값은 거리와 밀접한데 구체적으로 tbw.두 실수,real_number의 차이,difference의 절대값은 real_line 위에서 두 실수 사이의 거리,distance로 해석 가능 - ? 내생각, chk
차원이 높아져서 벡터의 뺄셈,subtraction의 절대값은 어떤지... chk, 그냥 단순 확장은 아닌듯, 일단 2d평면 위의 거리의 경우만 보면 제곱-합-제곱근이 들어가서... 이건 노름,norm관련이고...
이 사실들은 극한,limit의 엄밀한 정의(극한_EpsilonDeltaLimitDefinition)를 하는데 쓰인다.5. 자연스러운 절대값과 그게 아닌 것 ¶
https://horizon.kias.re.kr/13825/
p진수,p-adic_number 관련 시리즈 첫번째 글인데 중간 쯤 「‘절대값’이란?」 참조
저기선, 자연스러운 절대값:
p진 절대값:
으로 표기.
5 공리를 만족하면 아르키메데스 절대값archimedean absolute value
그렇지 않은 비非아르키메데스 절대값non-archimedean absolute value
소수 p에 대해 정의할 수 있는 p진 절대값p-adic absolute value
p진수,p-adic_number 관련 시리즈 첫번째 글인데 중간 쯤 「‘절대값’이란?」 참조
저기선, 자연스러운 절대값:
5 공리를 만족하면 아르키메데스 절대값archimedean absolute value
그렇지 않은 비非아르키메데스 절대값non-archimedean absolute value
소수 p에 대해 정의할 수 있는 p진 절대값p-adic absolute value
6. 복소수 ¶
// 복소수의 절대값. rel. 복소해석,complex_analysis
복소수
그것의 켤레(켤레복소수,complex_conjugate)
해당하는 극좌표 즉
일 때 의 절대값( modulus or the absolute value of )은
이며
로 계산할 수도 있다. 그리고 는 argument or amplitude of 이며
로 쓴다.
에 의 정수배가 더해져도 가 동일한데, 인 경우를 의 주치,principal_value라 하며 로 쓴다.
(Chan Man Advanced Math)
복소수
그것의 켤레(켤레복소수,complex_conjugate)
해당하는 극좌표 즉
에 의 정수배가 더해져도 가 동일한데, 인 경우를 의 주치,principal_value라 하며 로 쓴다.
(Chan Man Advanced Math)
행렬식 ≠ 절대값 (주의)
행렬 에 대해, 이다.
예를 들어 이면 이다.
예를 들어 이면 이다.
(Zill 6e ko 8.4 행렬식 p489)
군 위수 (group의 order. order of a group ) 도 같은 기호를 쓰는데. // 군,group의 order. pagename은 위수,order(저걸로 작성중 내용 있음 - 순서,order의 일부분인 'order의 다른 뜻' 이쪽 section)? group_order? {
(주의: 순서론order_theory의 주제 순서,order와는 다름. 오히려 집합론,set_theory의 cardinality에 더 가까운?)
Twins:
https://planetmath.org/orderofagroup
https://mathworld.wolfram.com/GroupOrder.html
https://groupprops.subwiki.org/wiki/Order_of_a_group
https://ncatlab.org/nlab/show/order of a group
Order_(group_theory)
.... 그리고 https://encyclopediaofmath.org/wiki/Order 이건 매우 여러가지를 한번에 설명하는 페이지. 참고용. }
(주의: 순서론order_theory의 주제 순서,order와는 다름. 오히려 집합론,set_theory의 cardinality에 더 가까운?)
Twins:
https://planetmath.org/orderofagroup
https://mathworld.wolfram.com/GroupOrder.html
https://groupprops.subwiki.org/wiki/Order_of_a_group
https://ncatlab.org/nlab/show/order of a group
Order_(group_theory)
.... 그리고 https://encyclopediaofmath.org/wiki/Order 이건 매우 여러가지를 한번에 설명하는 페이지. 참고용. }
집합,set의 cardinality(writing)의
기호는 여러가지인데 n(A), |A|, #A, card(A) ... 마지막 것이 제일 명확한데.
저것은 번역어도 중구난방: {크기, 개수, 농도, ...}
아무튼 |...| 기호는 다양하게 쓰인다. Q1. 혹시 절대값이 먼저인지? Q2. 그렇다면 저 기호를 채택한 이유가 절대값과 어떤 유사성이 있기 때문? or not?저것은 번역어도 중구난방: {크기, 개수, 농도, ...}
... 이상 이것들 mv to 표기법,notation?
기타
algebraic_number_theory에선 absolute_norm , absolute_trace 도 정의한다..... chkout: https://planetmath.org/normandtraceofalgebraicnumber
algebraic_number_theory에선 absolute_norm , absolute_trace 도 정의한다..... chkout: https://planetmath.org/normandtraceofalgebraicnumber
표준어: 절댓값
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Absolute_value - modulus, of a real number (다른 EoM 항목보다 훨씬 easy)
https://planetmath.org/AbsoluteValue
https://mathworld.wolfram.com/AbsoluteValue.html
Absolute_value
절댓값
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Absolute_value (del ok)
https://planetmath.org/AbsoluteValue
https://mathworld.wolfram.com/AbsoluteValue.html
Absolute_value
절댓값
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Absolute_value (del ok)
https://ncatlab.org/nlab/show/absolute value
http://oeis.org/wiki/Absolute_value
{
실수인 경우는 명백하고, 복소수,complex_number 관련해 Complex norm에서 complex_norm(노름,norm?) complex_modulus(법,modulus?) 둘은 같은? - 을 언급
}
http://oeis.org/wiki/Absolute_value
{
실수인 경우는 명백하고, 복소수,complex_number 관련해 Complex norm에서 complex_norm(노름,norm?) complex_modulus(법,modulus?) 둘은 같은? - 을 언급
}
----
- [1] Absolute_value 첫 문장 "the absolute value or modulus of a real number x, denoted |x|, …"