절대값,absolute_value

기호 |…|

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1. 절대값 함수

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2. 성질

$|a|=\sqrt{a^2}$

$|a|=|-a|$

$|a| |b| = |ab|$

$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\;(b\ne 0)$

$|a^n|=|a|^n$

$|a+b|\le|a|+|b|$
Related: 삼각부등식,triangle_inequality

증명 팁:
$a$ 만 나오는 경우는 $a>0,a=0,a<0$ 으로 경우를 나누어 본다.
$a,b$ 가 나오는 경우는 $a>0,b>0$ (...등등) 으로 나누어 본다.

(Easy) Suppose $a>0.$ Then
  • $|x|=a$ iff $x=\pm a$
  • $|x|<a$ iff $-a<x<a$
  • $|x|>a$ iff $x>a$ or $x<-a$
(Stewart Appendix A)

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3. Geometric interpretations

$|x-c|=d$
x와 c 사이 거리가 d이다.

$|x-c|>d$
x와 c 사이 거리가 d보다 크다.

$|x-c|<d$
x와 c 사이 거리가 d보다 작다.

$0<|x-c|<d$
x와 c 사이 거리가 d보다 작고, x≠c 이다.

거리,distance
원점,origin에서의 거리 = 절대값?
실직선real_number_line(curr. 실수,real_number), 복소평면,complex_plane에서는 확실. tbw: 확장되면? ex. 사원수,quaternion라던지
두 수의 차의 절대값은 거리와 밀접한데 구체적으로 tbw.
두 실수,real_number의 차이,difference의 절대값은 real_line 위에서 두 실수 사이의 거리,distance로 해석 가능 - ? 내생각, chk
차원이 높아져서 벡터의 뺄셈,subtraction의 절대값은 어떤지... chk, 그냥 단순 확장은 아닌듯, 일단 2d평면 위의 거리의 경우만 보면 제곱-합-제곱근이 들어가서... 이건 노름,norm관련이고...
(cf. 삼각부등식,triangle_inequality에서 벡터의 (뺄셈은 아니고 덧셈)의 절대값이 부등식으로 비교되는데..)

이 사실들은 극한,limit의 엄밀한 정의(극한_EpsilonDeltaLimitDefinition)를 하는데 쓰인다.

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4. 절대값과 구간

절대값과 구간,interval에 대해.

$a$ 가 임의의 양수이면,

$|x|=a\;\Leftrightarrow\;x=\pm a$
$|x|<a\;\Leftrightarrow\;-a<x<a$
$|x|>a\;\Leftrightarrow\;x>a\text{ or }x<-a$
$|x|\le a\;\Leftrightarrow\;-a\le x\le a$
$|x|\ge a\;\Leftrightarrow\;x\ge a\text{ or }x\le -a$

(Thomas 13e ko 부록)

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5. 자연스러운 절대값과 그게 아닌 것

https://horizon.kias.re.kr/13825/
p진수,p-adic_number 관련 시리즈 첫번째 글인데 중간 쯤 「‘절대값’이란?」 참조
저기선, 자연스러운 절대값:
$|x|_{\infty}$
p진 절대값:
$|x|_{p}$
으로 표기.
5 공리를 만족하면 아르키메데스 절대값archimedean absolute value
그렇지 않은 비非아르키메데스 절대값non-archimedean absolute value
소수 p에 대해 정의할 수 있는 p진 절대값p-adic absolute value

또한 그 다음 글 https://horizon.kias.re.kr/14296/ 에서도, 절대값의 네 공리,axiom 언급.
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6. 복소수

복소수,complex_number의 절대값은 왜 그렇게 정의? 원점부터의 거리,distance라서 거리를 일반화 한다 그런건가?
복소수의 경우는 modulus라는 용어도 쓴다.
물론 (실수도 복소수이므로) 실수에서도 modulus라고 한다.[1]
rel. complex_modulus

// 복소수의 절대값. rel. 복소해석,complex_analysis
복소수 $z=x+iy$
그것의 켤레(켤레복소수,complex_conjugate) $\bar{z}=x-iy$
해당하는 극좌표 $(r,\theta)$ 즉
$x=r\cos\theta$
$y=r\sin\theta$
$r=\sqrt{x^2+y^2}$
$\tan\theta=y/x$
일 때 $z$ 의 절대값( modulus or the absolute value of $z$ )은
$|z|=r$
이며
$|z|=\sqrt{z\bar{z}}$
로 계산할 수도 있다. 그리고 $\theta$ 는 argument or amplitude of $z$ 이며
$\text{arg}z=\theta$
로 쓴다.
$\theta$ 에 $2\pi$ 의 정수배가 더해져도 $z$ 가 동일한데, $-\pi<\theta\le\pi$ 인 경우를 $\text{arg}z$ 의 주치,principal_value라 하며 $\text{Arg}z$ 로 쓴다.
(Chan Man Advanced Math)

행렬식,determinant은 왜 절대값과 기호가 같음?
{
// ALSOIN 행렬식
기호만 같고 전혀 다른 것임에 유의.

행렬식 ≠ 절대값 (주의)

$1\times 1$ 행렬 $A=[a]$ 에 대해, $\det A=|a|=a$ 이다.
예를 들어 $A=[-5]$ 이면 $\det A=|-5|=-5$ 이다.

(Zill 6e ko 8.4 행렬식 p489)

QQQ 행렬에 double vertical bars가 붙으면 행렬식의 절대값? 그리고 그것이 바로 행렬의 노름,norm? chk
}

노름,norm - || .. ||
크기? 절대값 일반화??
절대값과의 관계?

Google:군 위수 (group의 order. Google:order of a group ) 도 같은 기호를 쓰는데. // 군,group의 order. pagename은 위수,order(저걸로 작성중 내용 있음 - 순서,order의 일부분인 'order의 다른 뜻' 이쪽 section)? group_order? {
(주의: 순서론order_theory의 주제 순서,order와는 다름. 오히려 집합론,set_theory의 cardinality에 더 가까운?)
Twins:
https://planetmath.org/orderofagroup
https://mathworld.wolfram.com/GroupOrder.html
https://groupprops.subwiki.org/wiki/Order_of_a_group
https://ncatlab.org/nlab/show/order of a group
WpEn:Order_(group_theory)
.... 그리고 https://encyclopediaofmath.org/wiki/Order 이건 매우 여러가지를 한번에 설명하는 페이지. 참고용. }

집합,set의 cardinality(writing)의
기호는 여러가지인데 n(A), |A|, #A, card(A) ... 마지막 것이 제일 명확한데.
저것은 번역어도 중구난방: {크기, 개수, 농도, ...}

아무튼 |...| 기호는 다양하게 쓰인다. Q1. 혹시 절대값이 먼저인지? Q2. 그렇다면 저 기호를 채택한 이유가 절대값과 어떤 유사성이 있기 때문? or not?

... 이상 이것들 mv to 표기법,notation?


기타
algebraic_number_theory에선 absolute_norm , absolute_trace 도 정의한다..... chkout: https://planetmath.org/normandtraceofalgebraicnumber

표준어: 절댓값


https://ncatlab.org/nlab/show/absolute value
http://oeis.org/wiki/Absolute_value
{
실수인 경우는 명백하고, 복소수,complex_number 관련해 Complex norm에서 complex_norm(노름,norm?) complex_modulus(법,modulus?) 둘은 같은? - 을 언급
}

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  • [1] WpEn:Absolute_value 첫 문장 "the absolute value or modulus of a real number x, denoted |x|, …"