Sub:
{
Excerpts
정의 7.11: 직교 기저와 직교 정규 기저
차원 실수 유클리드 공간에 대한 기저
을 이루는 벡터가 모두 서로 직교하면,
즉
일 때
을 만족하면 //
내적,inner_product이
영,zero
기저
는
직교 기저라고 한다.
나아가 기저를 이루는 모든 벡터의 길이가 1이면, //
길이,length 하나,one 단위,unit
즉
에 대해
이 성립하면,
기저
는
직교 정규 기저라고 한다. // orthonormal_basis
(이승준 p145)
linearly independent한 (아마 유한개??) 것들이 (span해서 전체를 덮으면/전체로 span하면) 그것들이 바로 기저????(notsure)
(정확한 서술 필요)
"minimum" set of vectors that spans the
subspace
따라서 basis에는 중복(redundancy)이 존재하지 않는다.
(Khan)
(Zill Def 7.6.4 Basis for a Vector Space)
//차원과...
기저의 수와 차원은 밀접.
기저 안의 원소(벡터)의 수가
차원,dimension. <- 여기 예전 서술
V의 한 기저에 들어 있는 벡터의 개수가 차원이며 dim V로 나타냄. <- 저기 현재 서술
(이하 차원의 존재성과 유일성 간단히 언급)
}
4. 기저가 될 수 있는/없는 조건 ¶
상식적으로,
- 영벡터는 안된다.
- collinear하면 안된다.
이게 전부다. CHK
수식으로는
을 만족하는
가 존재하면
기저벡터가 될 수 없다.
(
중 적어도 하나는 0이 아님 )
이유는,
모두 0이 아니면
인데 이것은
를 뜻하며 (위에서 collinear 조건)
둘 중 하나가 0이고 다른 하나가 0이 아니면, 예를 들어
이면
이렇게 영벡터가 되기 때문.
에서 세 개 이상의 요소의 조합은 반드시 일차종속이 된다. (WHY?)
요소의 조합 중에 일차종속이 아닌 것은 일차독립.
의 두 요소
가 일차독립이면
기저 벡터가 되며, 일차독립임을 증명하려면
이 성립하는 것이
일 때 뿐이라는 사실을 증명하면 됨
(나카이 에츠지)
5. 기저벡터가 만드는 평행사변형 ¶
2D에서, 기저 벡터는 평행사변형을 만들며, 이 면적은
일 때
즉 (행렬식의 절대값) = (일차변환의 확대율)
// 확대율이란 e1=(1,0),e2=(0,1)가 만드는 1×1=1의 cell에 비해 e1',e2'가 만드는 cell의 크기(평행사변형의 면적)가 얼마나 되는지 얘기.
(나카이 에츠지)
벡터공간이 있으면 기저를 항상 찾을 수 있다. (Zorn's lemma를 이용한다고)
한 벡터공간의 기저는 유일하지 않다. (기저 벡터 하나에 스칼라배를 해도 ok이므로)
한 벡터공간의 기저의 수는 유일하다.
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