산술,arithmetic

산술,arithmetic (rev. 1.129)
산술 법칙, 산술, 셈법
수,number와 그 연산,operation/계산,computation/calculation에 대해 탐구.

Sub:
// 대상이 되는 수,number 종류에 따라
binary_arithmetic ... WpEn:Category:Binary_arithmetic
integer_arithmetic - 정수,integer / or natural_number_arithmetic?
complex_arithmetic - 복소수,complex_number
// and..
modular_arithmetic (모듈러/모듈로/모듈라/나머지/합동) (산술/산수/연산)
related : modulo, 법,modulus, { Google:modulo.vs.modulus } residue, 나머지,remainder, 나눗셈,division, 정수론,number_theory 환,ring 아이디얼,ideal 합동,congruence
tmp bmks en:
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Modular_arithmetic
WtEn:modular_arithmetic
Twins:
https://en.citizendium.org/wiki/Modular_arithmetic - '''시계산술 패리티산술 ... 이렇게 쉬운 예부터 하나씩 TBW'' Google:clock_arithmetic Google:parity_arithmetic
WpEn:Modular_arithmetic
WpKo:모듈러_산술
Libre:모듈러산술
프레스버거_산술,Presburger_arithmetic
로빈슨 산술(Robinson arithmetic) Robinson_arithmetic
WpEn:Robinson_arithmetic
WpJa:ロビンソン算術
https://googology.fandom.com/wiki/Robinson_arithmetic
https://ncatlab.org/nlab/show/Robinson arithmetic
// tmp: "결정가능한 1차논리 이론의 대표적 예시로 .. 프레스버거 산술(Presburger arithmetic) 따위가 있으며,
// 결정 불가능한 이론의 예시로 산술의 기초적인 명제들을 증명할 수 있는 로빈슨 산술(Robinson arithmetic)이나 .. 따위가 있다."[1]
// Misc. (del ok) 대수학,algebra에는 이름 앞부분이 조금 비슷한 Robbins_algebra 가 있다
페아노_산술,Peano_arithmetic - writing
https://www.pls-lab.org/en/Peano_arithmetic
참고: [https]수학백과: 불완전성 정리의 '2. 페아노 산술' 참조 - 불완전성정리,incompleteness_theorem 설명에 앞서 페아노 산술을 1계논리(일계논리=일차논리,first-order_logic?)로 간략히 기술한 내용.
https://ncatlab.org/nlab/show/Peano arithmetic
WpEn:Peano_arithmetic redir. to Peano_axioms의 한 섹션 - 페아노_공리,Peano_axiom에서 induction_axiom을 제외하면 모두 일차논리,first-order_logic의 statements들이다. 그리고 axiom of induction(귀납공리? 귀납,induction)은 술어,predicate에 대한 quantifier가 있으므로 이차논리,second-order_logic의 statement이다.
...Ggl:Peano arithmetic
헤이팅 산술 Heyting_arithmetic - w WpEn:Heyting_arithmetic https://ncatlab.org/nlab/show/Heyting arithmetic ...Ggl:Heyting arithmetic
스콜렘 산술 Skolem_arithmetic - w WtEn:Skolem_arithmetic WpEn:Skolem_arithmetic ...Ggl:Skolem arithmetic
Nelson_arithmetic https://ncatlab.org/nlab/show/Nelson arithmetic ...Ggl:Nelson arithmetic

이상 중에서 몇가지는 integer_arithmetic이었고(?) ... i.e. 나중에 대상이 되는 수,number? 대상,object?의 타입,type에 따른 산술의 분류도 필요, TBW
floating point arithmetic - curr see 부동소수점,floating_point
arbitrary-precision arithmetic (bignum arithmetic) - curr see 부동소수점 맨밑
... (나중에 체계가 잡혀지면 리스트 맨 위로 merge)

second-order_arithmetic - w
WpEn:Second-order_arithmetic
https://ncatlab.org/nlab/show/second-order arithmetic
... Google:Second-order.arithmetic
see also https://www.pls-lab.org/en/Arithmetic

그렇다면 first-order_arithmetic 도 존재? - yes
first-order_arithmetic - w
Google:first order arithmetic

third도?
Google:third order arithmetic
Google:higher order arithmetic
....
(이건 이것들의 해당하는 -order_logic과 MKL)

true_arithmetic - w
WpEn:True_arithmetic
Google:true.arithmetic

cardinal_arithmetic - writing
rel. cardinality cardinal_number
https://planetmath.org/cardinalarithmetic - 보면 cardinal_addition cardinal_multiplication cardinal_exponentiation 도 정의해준다

arithmetical_hierarchy - writing; curr see:
arithmetical hierarchy
WpKo:산술적_위계
WpEn:Arithmetical_hierarchy
Google:arithmetical hierarchy
Up: 산술,arithmetic 위계,hierarchy

구간산술,interval_arithmetic - w (curr see 구간,interval)

퍼지산술,fuzzy_arithmetic - w - 퍼지논리,fuzzy_logic관련. 거기에 작성중.

포인터산술,pointer_arithmetic - w - of 포인터,pointer, 프로그래밍언어,programming_language

transreal_arithmetic - w { WpEn:James_A._D._W._Anderson#Transreal_arithmetic }

elementary_function_arithmetic
elementary function arithmetic (EFA)
https://ncatlab.org/nlab/show/elementary function arithmetic

type_arithmetic - w rr



[edit]

1. Complementary arithmetic

complementary arithmetic
complementary_arithmetic
보수,complement

2023-11-08 글쎄, src? Ggl:complementary arithmetic 해보니 Ggl:complement arithmetic 결과가 더 많이 나옴.. complementary_arithmetic

10's complement
2's complement
1's complement

[edit]

2. 법칙

교환법칙,commutativity
결합법칙,associativity
분배법칙,distributivity
멱등, 멱등성, 멱등법칙 - idempotence 에 작성중

표:
n. adj.
교환법칙,commutativitycommutativity commutative
결합법칙,associativityassociativity associative
분배법칙,distributivitydistributivity distributive
멱등법칙 idempotence, idempotency idempotent

덧셈,addition 곱셈,multiplication
결합 법칙 $a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)$ $abc=(ab)c=a(bc)$
교환 법칙 $a+b=b+a$ $ab=ba$
분배 법칙 $a(b+c)=ab+ac$

[edit]

3. 연산

연산,operation
단항연산과 이항연산

단항연산,unary_operation
negation 부호반대? 부호,sign 반대?
계승,factorial?
이항연산,binary_operation:
?
1 덧셈,addition, 가산 뺄셈,subtraction, 감산
2 곱셈,multiplication 나눗셈,division
3 거듭제곱,멱,power ≒ 지수,exponentiation 거듭제곱근,nth_root or 로그,log
4 테트레이션,tetration WpEn:Super-root or WpEn:Super-logarithm
5.. ? ?
이 표에서 좌우는 서로 반대 관계. 逆. anti. negative. inverse.
상하 관계는 없을까?
덧셈을 여러 번 하면 곱셈. 그걸 여러 번 하면 거듭제곱.
하지만 뺄셈을 여러 번 한다고 나눗셈이 되지는 않음.
https://oeis.org/wiki/Addition 의 Hierarchical list of operations pertaining to numbers 를 볼 것.
(2021-05-17) see also WpKo:하이퍼_연산 WpEn:Hyperoperation
계산 결과는
합,sum 차, 차이,difference
곱,product 몫,quotient.....나머지,remainder
? ? 여기서부터는 연산 이름과 그 결과의 이름을 나누지 않는 듯? chk
? ??

radical
근호 = radical symbol, radical sign
괄선(vinculum)이 없는 왼쪽 부분만 있는 것을 surd라고 하는건가? \surd $\surd$
\sqrt{t} $\sqrt{t}$
\sqrt[x]{y} $\sqrt[x]{y}$
radical sign 밑의 숫자는 radicand(해당하는 한글 단어는 없는 것 같고 "근호(根號) 속의 수"가 사전에 나온다.)
curr. goto 제곱근,square_root

합은 적분,integration 차는 미분,differentiation에 각각 유사성이 있었는데 뭐였더라?

사칙연산을 할 수 있는 집합,set - 체,field??

[edit]

4. 차원과..

차원,dimension과의 관계.
물리 방정식 계산에서,
덧셈/뺄셈은 차원이 같아야 계산 가능하다. 1kg+2mg은 되지만 1kg+2m는 안된다.
곱셈/나눗셈은 차원이 달라도 계산 가능하다. 10m÷5s=2m/s이다.

[edit]

5. tmp; WpEn:Arithmetic읽고.

[edit]

5.1. 산술의 기본 정리 fundamental theorem of arithmetic FTA

fundamental_theorem_of_arithmetic
aka unique_factorization_theorem
: 2이상의 모든 정수 has a unique 소인수분해,prime_factorization
$n\in\mathbb{N},\,n>1$ 이라 하면 다음 식을 만족하는 $m\in\mathbb{N}$ 과 소수,prime_number $p_1,p_2,\cdots,p_m$ 이 존재한다.
$n=p_1\cdot p_2 \cdot \cdots \cdot p_m$
특히 약수들의 순서를 고려하지 않는다면 이러한 표현방식은 오직 하나 뿐이다.


(tmp) 주의: 대수학의기본정리 또한 FTA 이므로 주의.. 저건 fundamental_theorem_of_algebra - see 대수학,algebra


[edit]

6. CS > PL 에서 실수 산술의 구현에 대해 - Exact real arithmetic

exact_real_arithmetic
계산불가능한 실수는 물론 컴퓨터가 못 다루지만 ('symbolic하게, 근사적으로' 이런거 말고)
계산가능수computable_number인 실수,real_number를 ....
exact하게 다룰 수는 있다, 근데 복잡하다.
(지금 이것은 물론 부동소수점,floating_point 얘기가 아니다.)
일단은 haskell wiki 참조
https://wiki.haskell.org/Exact_real_arithmetic
https://ncatlab.org/nlab/show/exact real computer arithmetic
Google:Exact real arithmetic
Bing:Exact real arithmetic

[edit]

7. arithmetic logic unit (ALU)

프로세서,processor esp CPU안에 arithmetic_logic_unit(ALU)
{
arithmetic logic unit
WtEn:arithmetic_logic_unit
}
에서 정수산술연산, 논리연산을 다룬다.
유사실수(? FPN, 부동소수점수,floating-point_number : 부동소수점,floating_point 수,number)의 산술연산을 다루는 FPU는 거의 항상 ALU와 분리되어 따로 있는 듯. // floating_point_unit OR floating-point_unit
이유? Boolean value에 대한 arithmetic과 integer value에 대한 arithmetic은 비슷하고(사실상 같음) floating point arithmetic은 타입,type이 달라 전혀 다른 처리를 해야 해서?
아님 역사적 이유로 unit이 갈라져 나오고 지금까지 이어진? (초기에는 FPU가 CPU에 없고 별개였던 (이른바 Ggl:coprocessor) 적도 있다)

rel
컴퓨터,computer
컴퓨터구조,computer_architecture
계산,calculation

[edit]

8. addhere


[edit]

9. addhere


[edit]

10. addhere


[edit]

11. addhere



[edit]

12. TBW

TBW:
대수학,algebra vs 산술(算術) 차이점은?
각종 _algebra, 각종 _arithmetic 이런것들은 왜 각각 algebra와 arithmetic 으로 이름붙었는지 등등

정수론,number_theory과의 차이점 and 유사성/겹치는것

tmp from WpKo:결정가능성
{
"결정가능한 1차논리(일차논리,first-order_logic) 이론의 대표적 예시로 실폐체(real_closed_field - writing, curr see WpKo:실폐체 WpEn:Real_closed_field )의 이론이나 프레스버거_산술,Presburger_arithmetic 따위가 있으며, 결정 불가능한 이론의 예시로 산술의 기초적인 명제들을 증명할 수 있는 로빈슨 산술(Robinson_arithmetic)이나 군의 이론(군론,group_theory? curr 군,group) 따위가 있다."
}
rel. 결정가능성,decidability? - w



----