집합,set

집합,set (rev. 1.177)
집합에 포함된 것 하나하나가 원소,element or member.

원소는 집합에 포함되거나 포함되지 않는다. (둘 중 하나. 관련 표현: bipartite, dichotomy)
이게 아니거나(?)
집합에 포함될 확률,probability을 0 or 1 뿐이 아닌 단위구간,unit_interval(curr 구간,interval) $[0,1]$ 내의 한 실수로 일반화,generalization하면 (? 확실히)
퍼지집합,fuzzy_set
Rel. rough_set_theory rough set theory Ggl:rough set theory / 퍼지이론/퍼지논리/퍼지함수. random links tocleanup { Namu:퍼지 함수 ... Ggl:퍼지이론 Ggl:퍼지논리 Ggl:퍼지함수 }

원소의 순서는 고려 대상이 아님. i.e. 원소 순서에 대한 구분은 없다.
순서,order를 고려하는 것이 순서집합,ordered_set

원소들끼리는 서로 다르다. 표현(different말고)? distinct?
중복된 원소를 허용하는 집합은 것은 다원집합,multiset - multiset 번역은 뭐가 최선이지? Ndict:multiset KmsE:multiset Ggl:multiset ... WpKo:중복집합에선 '중복집합 or 다중집합'이라 함.
‘집합은’이라고 해도 틀리지 않다고 볼 수도 있지만, multiset ≠ set이므로..
i.e. 집합(set)이라는 단어의 뜻을 넓게 잡으면 multiset도 set이지만, multiset은 일반적으로 통용되는 (set 개념)의 하위범주가 아니라 일반화/확장이므로 multiset은 set이 아니라고 할 수도 있다. (이런건 del ok)

Sub:
수의_집합
사건,event

원소의 개수에 따라 유한집합/무한집합/공집합 .. 이 아니라 공집합이 유한집합에 속함.
공집합,empty_set
비공집합,nonempty_set
nonempty set
Compare: inhabited_set
https://mathworld.wolfram.com/NonemptySet.html
wt x 2023-12
… Google:nonempty set
inhabited_set
inhabited set
// not in kms as of 2022-11-12 => https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=inhabit
Compare: 비공집합,nonempty_set
https://planetmath.org/inhabitedset
https://ncatlab.org/nlab/show/inhabited set
WpEn:Inhabited_set - WpEn:Classical_mathematics에서는 비공집합과 같으나, constructive_mathematics { constructive_mathematics WpEn:Constructive_mathematics }에선 다를 수 있다?
… Google:inhabited set
wt x 2023-12
한원소집합, singleton 또는 singleton_set
{
하나,one의 원소,element만을 가지는 집합,set.
가장 간단한 nonempty set으로 볼 수 있음.
(성질: 당연히) 원소의 개수 or 카디널리티,cardinality가 1.



… Google:singleton set
(cf, del ok:
WtEn:singleton
WtEn:singleton_set (뻔한얘기))
}
유한집합,finite_set
{
tmp bmks ko
https://m.blog.naver.com/hafs_snu/221089512333 중간쯤에 유한집합/무한집합 정의 있음 (Src: Google:johnsonbaugh discrete )





Up: 가측성,measurability 집합,set
}
비가측집합 nonmeasurable_set
보렐_집합,Borel_set
가산집합,countable_set - 아래 section 5에 있음

// 방정식,equation, 미분방정식,differential_equation
해집합,solution_set - rel. 해,solution와 구분하지 않고 자주 쓰이는듯..? (많은 문제들이 '해를 구하라: 해집합을 구하라')
QQQ 해가 여러개인 경우가 당연하면, 예를 들어 연립방정식,system_of_equations인 경우에는 '해'라고 하면 당연히 '해집합'을 뜻하는 것인가? 해의 가능한 개수에 따라 해가 해집합을 함축하는 것인가?

// CS 관련
character_set?

// 위상,topology 관련
열린집합,open_set
닫힌집합,closed_set
열린닫힌집합,clopen_set - 이 셋 작성중

see also 구간,interval

정렬순서집합(well-ordered set) - see 자연수,natural_number 마지막부분
유향집합,directed_set - order_theory 얘기
https://planetmath.org/directedset
https://mathworld.wolfram.com/DirectedSet.html
https://ncatlab.org/nlab/show/direction (order_theory의)
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Directed_set
WpEn:Directed_set - (or a directed_preorder or a filtered_set)
https://everything2.com/title/directed set
upward directed set
downward directed set

// 이것도 순서론
상집합 upper_set
하집합 lower_set - WpKo:상집합 참조.

// 그냥 집합론?
index_set - writing

pure_set - writing

// 이것들은 rel. 합,sum 덧셈,addition / 분야는 정수론,number_theory esp additive_number_theory, 조합론,combinatorics
sumset = 민코프스키_합,Minkowski_sum - writing; WpEn:Sumset
sum-free_set - writing; WpEn:Sum-free_set
restricted_sumset - writing; WpEn:Restricted_sumset
Sidon_set - writing; WpEn:Sidon_set - redir to Sidon_sequence

analytic_set
{
WpKo:해석적_집합
WpEn:Analytic_set
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Analytic_set
}



[edit]

1. 표기

관례: 집합은 대문자로, 원소는 소문자로

원소나열법
{1, 2, 3}
조건제시법 (WpEn:Set-builder_notation)
{x: 0<x<4, x∈ℕ}

// Specification of sets // from ㄷㄱㄱ Week 1-1 p14
{
여기선 이런 용어를 쓴다.
List notation // 목록 표기법
Predicate notation // 술어,predicate 표기법
그리고,
Recursive rules : Defining a set of rules which generates its members // rel. 재귀,recursion and 점화식,recurrence_relation; QQQ 생성함수,generating_function와 유사성이?
Ex.
  • 2 ∈ A
  • If x ∈ A, then x+3 ∈ A
  • Nothing else belongs to A
}

Venn diagram here?
- No, 집합 하나 표기가 아니라, 보통 집합 간의 관계를 나타낼 때.


[edit]

2. 연산


inclusion ∈
pronounced/read as "belongs to", "is a member of", "is in"
\in $\in$
\ni $\ni$
membership?

∉
does not belong to
\notin $\notin$
\not\in $\not\in$

subset and superset
see 부분집합,subset
⊂ $\subset$ \subset
⊃ $\supset$ \supset
⊆ $\subseteq$ \subseteq
⊇ $\supseteq$ \supseteq
$\not\subset$ \not\subset
이하 mimeTeX에서 지원 안함
$\subsetneq$
$\subsetneqq$
$\supsetneq$
$\supsetneqq$

set equality =
A=B ⇔ A⊂B and A⊃B

합집합 union ∪
\cup $\cup$
\bigcup $\bigcup$
$A\cup B=\left{x\middle|x\in A \vee x\in B\right}$
합집합,union or set_union

교집합 intersection ∩
\cap $\cap$
\bigcap $\bigcap$
$A\cap B=\left{x\middle|x\in A \wedge x\in B\right}$
교집합,intersection or set_intersection
https://mathworld.wolfram.com/Intersection.html
참고. 기하에서 intersection은 교차하는- 만나는- 의 뜻으로 쓰이는데 rechk.

차집합 set_difference (relative complement)
고등학교 과정에서는 －(minus) 기호
ISO: A-B should not be used. ([https]src) 이유는?
subtraction(뺄셈,subtraction)과 뜻이 다른 건 명백한데, (제외/배제/exclusion 쪽에 가까운.) 구분을 위해?
일반적으로 backslash(\) 비슷한 기호 ∖
\setminus: $\setminus$
\backslash: $\backslash$
$A\setminus B=\left{x\middle|x\in A \wedge x\notin B\right}$
$A\setminus B=A\cap B^C$
차집합,difference
set difference, relative complement - chk
[https]수학백과: 차집합 (too easy)
https://mathworld.wolfram.com/SetDifference.html


여집합,complement
여집합, complement (absolute complement)
aka set_complement, complement_set,
// complementation? , complementary set(두산)
X의 여집합 기호: XC 또는 X' 또는 X-bar( $\bar{X}$ )
$A^c=U-A$
$A^c=\left{x:x\not\in A\right}$
공집합,empty_set과 전체집합,universal_set은 서로 complement.
[https]수학백과: 여집합 (too easy)
https://everything2.com/title/Complement
집합론에선: 집합,set의 여집합
논리학에선: 명제,proposition의 negation
불_논리,Boolean_logic/불_대수,Boolean_algebra : 논리학과 마찬가지 ........ 이거 chk
영단어에는 보수,complement, 보체,complement, 보어,complement, ... 라는 뜻도 있음. Ndict:complement

곱집합, cartesian product, 데카르트 곱
곱집합,product_set

서로소 disjoint, mutually exclusive
이건 연산이 아니고 성질인가?
S∩T={} : S and T are disjoint
See also 분리,disjoint(curr goto 결합,joint)
(집합의 서로소)
A와 B에 공통인 원소가 하나도 없을 때,
즉 A와 B의 교집합 set_intersection 이 공집합,empty_set이라면,
즉 A∩B=∅이라면,
A와 B는 서로소.

disjoint_union
서로소합집합,disjoint_union or 분리합집합,disjoint_union
writing

원소의 수 n()
이것도 연산이라기보단 성질? 정수를 출력하는 연산으로 볼수도 있을듯?
기수,cardinal_number관련임.
카디널리티,cardinality

[edit]

3. 여러 토픽

분할,partition
부분집합들이 모두 서로소이고 합집합이 전체집합을 이룸

부분집합,subset

진부분집합,proper_subset - curr at 부분집합.

superset - 번역이 초집합/상위집합/포함집합(kms) 등이 보이고, 기타 수퍼셋 수퍼집합(? 내생각) ... 뭐가 좋을지? pagename TBD.
{
클래스,class의 superclass, ...와 비슷






singleton, singleton_set, unit_set
{
// 싱글턴 싱글톤 ... 단위집합 ?? { Naver:단위집합 Google:단위집합 }

한 개의 원소를 가진 집합.

이 단어는 1-tuple (see 튜플,tuple) 에도 쓰인다.
}


집합의 크기, number of elements
$n(A)$ 고교 교과서
$|A|$ 절대값,absolute_value과 같은 기호
$\operatorname{card} A$ : number of elements in A, cardinality of A
cardinality
countable - 가산집합의 농도는 $\aleph_0$
uncountable

cardinality는 농도로도 번역?
Libre:농도_(수학)
TODO CHK; from [https]src
{
Q:
one two three 같이 순서 없고 개수를 세는 개념이 기수(cardinality)
first second third 같이 차례를 셀 때 쓰는 개념이 서수(ordinal number)?

집합 A와 B가 동일한 cardinality를 가진다는 것은
A와 B 사이에 일대일대응관계(one-to-one correspondence)가 있음을 의미
표기: |A|=|B|
pages:
전단사,bijection(curr goto 함수,function#s-5)
대응,correspondence
사상,map

}

포함-배제 원리 principle of inclusion-exclusion
n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)



드 모르간 de_Morgan_s_law
$(A\cap B)^C=A^C\cup B^C$
$(A\cup B)^C=A^C\cap B^C$
also in: 논리,logic and 불_대수,Boolean_algebra

[edit]

4. 집합을 통한 자연수 구성

공집합(null set) ∅ = { } 을 0에,
{∅}을 1에,
{∅,{∅}}을 2에,
{∅,{∅},{∅,{∅}}}을 3에,
{∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}을 4에,
...
서수,ordinal_number
(Giuseppe Peano의 아이디어를 Cantor가 발전시킨 것으로, 후에 von Neumann이 체계 확립)


관련 - 자연수,natural_number 페아노_공리(자연수page #s-1 참조)

참조
[https]https://pub.mearie.org/자연수에서 간략히 언급
https://everything2.com/title/Number 에서 두번째 (A set theoretic derivation of the numbers)
https://freshrimpsushi.github.io/posts/axiom-of-infinity/ (무한공리,infinity_axiom - axiom of infinity - 를 다룬 포스트에서 언급. 자연수 집합이 존재한다는 정리(자연수집합의 존재성,existence)를 무한공리에서 이끌어 냄.)


[edit]

5. 가산과 비가산

가산집합,countable_set
자연수,natural_number의 집합과 일대일 대응이 가능한 집합
농도 $\aleph_0$
발음: aleph null
i.e. countably infinite set의 cardinality
자연수,natural_number와 일대일대응 관계이면 셀 수 있다는 뜻의 가산집합이라 부름. 실수,real_number의 집합은 셀 수 없음.

가산집합의 예
$\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ 등
가산이 아닌(비가산?불가산?) 집합의 예
$\mathbb{R},$ 그 부분집합인 $\lbrace x|x\in\mathbb{R},0<x<1\rbrace$ 등
// tmp from wpko
{
자연수 집합으로의 단사함수가 존재하는 집합.
가산집합이 아닌 집합은 비가산집합,uncountable_set.

유한집합을 일반적으로 포함하는 용어이나... 이걸 제외하고 셀 수 있는 무한집합만을 가리킬 때는.... - entry 참조. 가부번집합,denumerable_set 등의 용어. chk later.

// tmp from https://m.blog.naver.com/at3650/221076452389 Lemma 1.4.10 설명에서
countable은 denumerable과 finite를 포괄하는, 더 넓은 개념.
}
TBW countable vs denumerable ?? 가산집합,countable_set vs 가부번집합,denumerable_set ??
and enumerable

WpKo:가산_집합
WpEn:Countable_set


[edit]

6. Cantor set

https://horizon.kias.re.kr/9447/ 중간쯤. "군의 경계는 어떻게 생겼을까?"
아래 1D-3D는 위상차원topological dimension이 1인 대표적인 공간들임. 고차원도? chk
프랙탈,fractal관련?

[edit]

6.1. 1D : 칸토르 집합 Cantor set

[edit]

6.2. 2D : 시어핀스키 카펫 Sierpinski carpet

Cantor_set 의 2차원 버전?
한 변의 길이가 1일 정사각형을 9등분해서 가운데 부분을 제거하고, 남은 8개의 더 작은 정사각형의 가운데를 제거하고, 이 과정을 계속 반복.
제거된 정사각형의 넓이의 합은 1이다. (즉 Sierpinski carpet의 넓이,area는 0이다.)
[edit]

6.3. 3D : 멩거 스펀지 Menger sponge

[edit]

6.4. 고차원 : 멩거 컴팩텀 Menger compactum


[edit]

7. transitive_set


원소의 원소를 원소로 하는 집합.

다음 조건들은 동치이며 이를 만족시키는 집합이 추이적 집합.
  • ∀ B∈A∈X, B∈X
  • ∀ A∈X, A⊆X
  • X⊆𝒫(X)
//멱집합,power_set

via:
서수,ordinal_number의 정의에 쓰임. Namu:서수(수학)에서 "추이적 집합" 검색.




Up: transitivity - 전이성 or 추이성. 작성중.
}

[edit]

8. Vitali set

[edit]

9. etc

무한집합,infinite_set
{
계수가능무한집합 countably infinite set
셀수있는무한집합
이것의 카디널리티,cardinality는 $\aleph_0$ ?

그 밖의 무한집합은 모두? chk : uncountably infinite set
S가 유한집합이고 T가 그 진부분집합이면, n(T)<n(S)이다. 이것은 실세계의 "전체는 부분보다 크다"는 직관과 일치한다. 그러나 S가 무한집합이면 이것은 더 이상 적용되지 않는다. 예를 들어 자연수와 짝수 사이에 일대일 대응이 성립한다.

또 다른 비직관적인 성질은 어떤 무한은 다른 무한보다 훨씬 더 크다는 점. 예를 들어 ℕ⊂ℝ, ℕ≠ℝ이며 둘은 일대일대응 성립 안함. 그래서 ℝ은 ℕ보다 더 많은 원소를 가짐.

Ref: 10개의 특강으로 끝내는 수학의 기본 원리

기수,cardinal_number 표기 (aleph)
\aleph $\aleph$

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10. related

[edit]

11. (순수수학 밖) 자료구조나 ADT에서 set

자료구조,data_structure나 ADT abstract_data_type 에 해당하는 내용은 여기에 section을 만들까 아님 새 페이지 - 이를테면 셋,set or 세트,set 에 적을지.. 일단 여기에.
{
리스트,list와의 차이점: 순서,order를 고려하지 않는다(따라서 index, slicing 등은 없다), 중복duplication은 무시.... etc

집합의 원소는 should be hashable? PL에 따라?

Python의 경우 (del ok)
{
공집합,empty_set e 만들기 : e = set()

연산자의 경우 다음과 같이 산술 연산자를 재활용함, 그리고 해당 method도 열거하면
membership, ∈ in
union, ∪ | union
intersection, ∩ & intersection
차집합, set difference, relative complement - difference
부분집합 여부, ⊂ <= issubset
개수, cardinality len() 함수

기타 methods
add()
remove()
pop()
clear()
update() <- Google:python set update.method이미 있는 건 무시하고 없는 건 추가? chk
}

MKLINK
disjoint_set
}

[edit]

12. twins