페이지 분리?
2023-12-07 이건 semantics + wiki policy 문제. 각종 집합에 대해, 집합만 다룬 페이지와 '그 위에 대한' operations까지 다룬 page를 명확히 분리하는 방향으로 간다면 페이지가 많아진다(내용이 분리된다)는 단점이 생기는데, 모든 집합마다 이렇게 하는 건 효율이 떨어지니, 어느 범위까지 만드는 게 좋을지... 이건 분명 경우에 따라 다를텐데. TBD later.
2023-12-07 이건 semantics + wiki policy 문제. 각종 집합에 대해, 집합만 다룬 페이지와 '그 위에 대한' operations까지 다룬 page를 명확히 분리하는 방향으로 간다면 페이지가 많아진다(내용이 분리된다)는 단점이 생기는데, 모든 집합마다 이렇게 하는 건 효율이 떨어지니, 어느 범위까지 만드는 게 좋을지... 이건 분명 경우에 따라 다를텐데. TBD later.
두 실수,real_number로 된 ordered pair(2-튜플,tuple)과 equivalent? 각각 실수부분,real_part, 허수부분,imaginary_part.
따라서
따라서
- 2D 평면,plane에 나타낼 수 있고 — 복소평면,complex_plane이 모든 복소수의 집합 그 위의 한 점,point이 복소수.
- 2-벡터,vector로 볼 수 있고 — 이 땐 1(하나,one)과 i(허수단위,imaginary_unit)가 각각 표준기저,standard_basis 역할?
- etc.
복소수체 기호 : ℂ
복소수체,complex_field.
체,field이지만 순서체,ordered_field는 아니다. https://everything2.com/title/complex numbers can%27t be ordered
보다 대수적(algebraically)으로 큰 체는 없다.
체이므로 당연히 벡터공간,vector_space. is a vector space over of dimension 2 with basis
체,field이지만 순서체,ordered_field는 아니다. https://everything2.com/title/complex numbers can%27t be ordered
보다 대수적(algebraically)으로 큰 체는 없다.
체이므로 당연히 벡터공간,vector_space. is a vector space over of dimension 2 with basis
실수,real_number 와 허수단위,imaginary_unit 에 대하여
를 복소수라고 한다. 이 때 a를 z의 실수부분, b를 허수부분이라 한다.
: z의 실수부(real part)
: z의 허수부(imaginary part)
: z의 허수부(imaginary part)
b? bi? 뭔지 확실히
Jeffrey AEM p11에서는 b
한 복소수(a + bi)는 두 실수 순서쌍,ordered_pair (a, b)와 대응될 수 있다.
복소수가 실수를 2차원 평면으로 확장했다면, 3차원 공간으로 확장한 사원수,quaternion가 있음
Contents
- 1. 표기
- 2. 분류
- 3. 표현, 형식, form
- 4. 복소수의 덧셈,addition과 뺄셈
- 5. 복소수 곱셈,multiplication and 나눗셈,division
- 6. 복소수의 거듭제곱 power of a complex number
- 7. 복소수의 지수
- 8. 켤레, conjugate, 공액
- 9. 대칭
- 10. 복소수의 절대값(modulus), absolute value, 크기size, magnitude, 노름norm
- 11. 복소수의 편각 argument
- 12. 복소수의 (거듭)제곱근
- 13. 성질 properties, 항등식
- 14. 복소평면 complex plane, 가우스 평면, Argand diagram
- 15. 대수학의기본정리(FTA), 다항식의 근/해 관련
1. 표기 ¶
복소수 집합은 보통 ℂ, 로 표기함. (complex의 첫글자를 칠판_볼드체,blackboard_bold로 쓴 것)
실수 가 있고
(허수단위,imaginary_unit)
또는 순서쌍,ordered_pair
에서
(허수단위,imaginary_unit)
을 실수단위(real unit),
를 허수단위(imaginary unit)로 정의하고...
or를 허수단위(imaginary unit)로 정의하고...
2. 분류 ¶
복소수
꼴에서 ( )
: 실수
: 허수
실수부분이 0인 복소수를 순허수(pure imaginary number)라 한다. ( 꼴 ): 허수
and : 순허수 (pure imaginary number)
and : 순허수가 아닌 허수
and : 순허수가 아닌 허수
그럼 0도 순허수라는 말? 아님 0은 제외?
순허수의 제곱은 음수. - 그럼 0은 제외? 두산백과는 0 제외임.algebraic_number vs 초월수,transcendental_number 둘로 양분됨?
https://everything2.com/title/algebraic number
https://everything2.com/title/algebraic number
3. 표현, 형식, form ¶
직교좌표형, 직각좌표형식, rectangular form
z = x + yi극좌표형, 극형식, polar form, 극형식,polar_form
z = r(cosθ + isinθ) = r∠θ복소지수형
z = reiθ
복소수의 표시 형식
직각좌표 형식 | 실수부+허수부 | |
극좌표 형식 | 크기∠편각 | |
삼각함수 표시 | 크기×삼각함수 | |
지수 형식 | 크기×지수함수 |
4. 복소수의 덧셈,addition과 뺄셈 ¶
복소수의 덧셈과 뺄셈은 직교좌표로, 곱셈과 나눗셈은 극좌표로 하는 게 편함.
매우 쉬운.. 근데 대충 생각나는 대로 적어서 CHK
{
덧셈은
{
덧셈은
- 삼각형 법
- 평행사변형 법
- 실수부별로, 허수부별로 덧셈
- 방향을 반대로 하여 덧셈.. 즉 a+b는 a+(-b)
이건 elementwise operation. elementwise_operation
5. 복소수 곱셈,multiplication and 나눗셈,division ¶
https://mathworld.wolfram.com/ComplexMultiplication.html
https://mathworld.wolfram.com/ComplexDivision.html
https://mathworld.wolfram.com/ComplexDivision.html
tmp; cleanup
tmp 곱의 절대값 = 두 절대값의 곱 곱의 각 = 두 각의 합 나누기의 절대값 = 두 절대값의 몫 나누기의 각 = 두 각의 차 인듯.
약간 투박하지만 \underline{/...}로 각을 표기해 보았음. (임시, TOREWRITE)
일 때,
극좌표,polar_coordinate로 표현한 복소수의 곱셈
라 하면,
즉 원점에서의 거리 은 곱해지고,
각도는 더해진다
각도는 더해진다
두 복소수가 다음과 같을 때
곱은
여기서 양변의 절대값을 취하면, 곱의 절대값은 각 절대값의 곱과 같음
곱의 편각은 각 인자의 편각,argument의 합과 같음
나눗셈은
여기서 양변의 절대값을 취하면, 곱의 절대값은 각 절대값의 곱과 같음
여기에 '( 의 정수배까지)'라고 쓰여 있는데 뜻은 알겠지만 정확히 표현하면?
복소수 은 를 만족하므로, 이고 양변을 로 나누면
이고 양변에서 를 빼면
(Kreyszig) (2pi의 정수배까지)
위 두 식을 결합하면5.1. Quotient(division) of complex numbers ¶
Let and
그러면 몫,quotient 는 이렇게 정의된다.
하지만 실제는 이렇게 하지는 않는다. 분자와 분모에 분모의 켤레를 곱해 분모를 실수로 만드는 방법을 쓴다.
(즉 분모의 유리화와 유사)
(Jeffrey AEM p14)
그러면 몫,quotient 는 이렇게 정의된다.
(Jeffrey AEM p14)
10. 복소수의 절대값(modulus), absolute value, 크기size, magnitude, 노름norm ¶
complex_modulus? - yes
http://oeis.org/wiki/Absolute_value#Complex_norm 를 보면 complex_norm = complex_modulus 이고 이것은 복소수에 대해서는 절대값,absolute_value과 일치... ?
복소수
의 절대값(modulus)의 정의는 다음과 같다.
의 modulus는 로 표기하며, magnitude로도 불린다.
(Jeffrey AEM p14)
tmp from https://tendowork.tistory.com/33
{
z를 두 성분의 벡터로 생각할 수 있다.
복소수 z의 크기,size를 module이라 한다.
z를 스칼라,scalar로 보았을 때는 z의 module은 z의 절대값,absolute_value이 되고
z를 벡터,vector로 보았을 때는 z의 module은 z의 노름,norm이 된다.
}
{
z를 두 성분의 벡터로 생각할 수 있다.
복소수 z의 크기,size를 module이라 한다.
z를 스칼라,scalar로 보았을 때는 z의 module은 z의 절대값,absolute_value이 되고
z를 벡터,vector로 보았을 때는 z의 module은 z의 노름,norm이 된다.
}
Twins:
https://mathworld.wolfram.com/ComplexModulus.html
https://planetmath.org/modulusofcomplexnumber
https://mathworld.wolfram.com/ComplexModulus.html
https://planetmath.org/modulusofcomplexnumber
14. 복소평면 complex plane, 가우스 평면, Argand diagram ¶
하나의 복소수를 실수부 허수부(혹은 허수부 * i? CHK)의 합으로 볼 수 있고, 이것은 복소평면,complex_plane 위의 한 점,point으로 볼 수 있다.
{
수직선(1차원)을 한 차원 더 일반화해 2차원으로 만든 것.
{
수직선(1차원)을 한 차원 더 일반화해 2차원으로 만든 것.
x축: 실수축 real axis
y축: 허수축 imaginary axis
y축: 허수축 imaginary axis
망델브로_집합,Mandelbrot_set
{
엄청나게 복잡한 집합을 놀라울 정도로 간단하게 정의한 사례.
c는 특정한 기준으로 선택된 복소수이다.
z가 무한대로 나오면 c에 해당하는 점을 하얗게 칠하고, z가 어떤 제한된 영역 안에 있으면 c지점을 검은색으로 칠한다. 이런 작업을 반복하여 검게 칠해진 영역이 바로 만델브로트 집합이다.
{
엄청나게 복잡한 집합을 놀라울 정도로 간단하게 정의한 사례.
z가 무한대로 나오면 c에 해당하는 점을 하얗게 칠하고, z가 어떤 제한된 영역 안에 있으면 c지점을 검은색으로 칠한다. 이런 작업을 반복하여 검게 칠해진 영역이 바로 만델브로트 집합이다.
aka 만델브로트_집합
Benoit_Mandelbrot
Benoit_Mandelbrot
https://everything2.com/title/Mandelbrot set
망델브로_집합
Mandelbrot_set
https://mathworld.wolfram.com/MandelbrotSet.html (long)
}
망델브로_집합
Mandelbrot_set
https://mathworld.wolfram.com/MandelbrotSet.html (long)
}
https://everything2.com/title/Julia Set
쥘리아_집합
Julia_set
https://mathworld.wolfram.com/JuliaSet.html
}
쥘리아_집합
Julia_set
https://mathworld.wolfram.com/JuliaSet.html
}
TODO 위 둘 나중에 서로 연결 및 각각 집합,set, fractal, 자기유사성 self-similarity (curr at 유사도,similarity), ... 과 연결
(tmp) See also 점화식,recurrence_relation#s-5 ...즉 점화관계와도 연결
(tmp) See also 점화식,recurrence_relation#s-5 ...즉 점화관계와도 연결
}
AKA 가우스평면, 아르강 다이어그램(Argand diagram), 아르강 평면(Argand plane), 데카르트 평면
15. 대수학의기본정리(FTA), 다항식의 근/해 관련 ¶
실계수 다항식,polynomial이 항상 실수(또는 0) 근을 갖지는 않는다. (ex. P(x)=x2+1) 하지만 모든 다항식이 복소수근은 반드시 갖는다.
대수학의기본정리,fundamental_theorem_of_algebra,FTA says
가 차 다항식,polynomial이고 이면, 방정식 은 적어도 한 복소수근을 갖는다.
모든 n차 방정식은 복소수 영역에서 n개의 근을 갖는다.복소계수를 갖는 임의의 다항식,polynomial은 복소수해를 반드시 갖는다.
가 차 다항식,polynomial이고 이면, 방정식 은 적어도 한 복소수근을 갖는다.
Twins:
https://ghebook.blogspot.com/2010/07/complex-number.html
ComplexNumbers
https://planetmath.org/complex
https://planetmath.org/complexnumber
복소수
https://ghebook.blogspot.com/2010/07/complex-number.html
ComplexNumbers
https://planetmath.org/complex
https://planetmath.org/complexnumber
인용:
The ring of complex numbers(복소수환?복소환?) 정의: 몫환,quotient_ring of the 다항식환,polynomial_ring in one 변수,variable over the reals by the 주아이디얼,principal_ideal
For the 동치류,equivalence_class of in is 보통 로 표기, and one has
복소수들은 algebraically_closed_field를 이룬다.
https://mathworld.wolfram.com/ComplexNumber.htmlThe ring of complex numbers(복소수환?복소환?) 정의: 몫환,quotient_ring of the 다항식환,polynomial_ring in one 변수,variable over the reals by the 주아이디얼,principal_ideal
For the 동치류,equivalence_class of in is 보통 로 표기, and one has
복소수들은 algebraically_closed_field를 이룬다.
복소수
http://oeis.org/wiki/Complex_numbers
수학백과: 복소수
{
대체로 easy.
section 5. 복소수의 행렬,matrix표현(matrix_representation): 복소수 를 행렬 로 생각할 수 있다 - 이때 복소수의 절대값의 제곱은 대응하는 행렬의 행렬식,determinant과 같다.
}
수학백과: 복소수
{
대체로 easy.
section 5. 복소수의 행렬,matrix표현(matrix_representation): 복소수 를 행렬 로 생각할 수 있다 - 이때 복소수의 절대값의 제곱은 대응하는 행렬의 행렬식,determinant과 같다.
}