Sub:
기울기,gradient ∇(scalar_field)=(vector_field)
발산,divergence ∇·(vector_field)=(scalar_field)
회전,curl ∇×(vector_field)=(vector_field)
라플라시안,Laplacian (AKA 라플라스_연산자,Laplace_operator) ∇·∇(scalar_field)=(scalar_field)? CHK
선속,flux
델,del,나블라,nabla ∇
선적분,line_integral은 벡터장내 벡터의 적분인가?
관련:발산,divergence ∇·(vector_field)=(scalar_field)
회전,curl ∇×(vector_field)=(vector_field)
라플라시안,Laplacian (AKA 라플라스_연산자,Laplace_operator) ∇·∇(scalar_field)=(scalar_field)? CHK
선속,flux
델,del,나블라,nabla ∇
선적분,line_integral은 벡터장내 벡터의 적분인가?
Contents
- 1. 벡터함수의 도함수
- 2. 정리
- 3. cleanup
- 4. ex. (+물리적 해석)
- 5. 물리에 응용: 운동량,momentum, 각운동량,angular_momentum 관련 TOCLEANUP
- 6. from 이정일 강의; TOCLEANUP TOMERGE
- 7. 벡터연산자 grad/div/curl
- 8. nabla, del, ∇ 기호의 정의
- 9. grad, gradient, 기울기, 경사
- 10. div, divergence, 발산
- 11. curl, rot, rotation, 회전
- 12. 라플라시안 Laplacian
- 13. 비교 표
- 14. curl(grad(f))=0
- 15. div(curl(F))=0
- 16. grad/div/curl: O'Neil 표현
- 17. div, grad, curl, and all that
- 18. Textbooks
- 19. Further Ref / Twins
2. 정리 ¶
가 미분가능한 벡터함수,vector_function이고, 는 실수, 는 실수함수일때 다음이 성립한다.
발산정리,divergence_theorem
스토크스_정리,Stokes_theorem
그린_정리,Green_theorem
- (f는 scalar function)
스토크스_정리,Stokes_theorem
그린_정리,Green_theorem
이면, 를 만족하는 스칼라 함수 가 반드시 존재.
이면, 를 만족하는 벡터 (함수? 장?) 가 반드시 존재.
3. cleanup ¶
정의
위 뜻을 이제는 좀 정확히 알 듯.
일단 먼저
시작: 이
이면 이것을 로 미분하면
관련: 벡터미적분, 미분,differential
...... 이하 i,j 위에 hat 생략
양변에 를 곱하면 (이하 셋은 순서 단계가 아니라 모두 같은 것)좌표계,coordinate_system#s-11(벡터미적분을 위한 좌표계의 디퍼렌셜, 미소xx)
벡터함수,vector_function
에 관련내용 있음.
여러 좌표계의 미소길이/미소면적/미소부피 내용 있음
위치벡터,position_vector벡터함수,vector_function
에 관련내용 있음.
at 2020-10-08 src: Khan Multivar. Calculus differential of a vector valued function
KWs: derivative/differential of vector valued function / position vector function
KWs: derivative/differential of vector valued function / position vector function
4. ex. (+물리적 해석) ¶
인 것은? 보기만 해도 원이라는 것을 알 수 있지만
자기자신을 내적해도 상수이므로
양변을 미분하면
내적은 교환법칙이 성립하므로
이것은 원,circle 궤도,orbit - 접선,tangent_line이 원 위의 점에 대한 위치벡터,position_vector와 직각(직교성,orthogonality)인.
자기자신을 내적해도 상수이므로
이것은 원,circle 궤도,orbit - 접선,tangent_line이 원 위의 점에 대한 위치벡터,position_vector와 직각(직교성,orthogonality)인.
5. 물리에 응용: 운동량,momentum, 각운동량,angular_momentum 관련 TOCLEANUP ¶
운동량(p)의 시간 미분은 힘(F)이다.
질량은 시간에 대해 변하지 않으므로, (dm/dt=0)
마찬가지 방법으로, 각운동량(L)의 시간 미분은 토크,torque(τ)이다.
dr/dt=0이 된다고 한다 why?
그리고 dp/dt가 위에서 F였으므로,
CHK
그리고 dp/dt가 위에서 F였으므로,
7. 벡터연산자 grad/div/curl ¶
연산대상 | 연산결과 | |
grad | 스칼라장 | 벡터장 |
div | 벡터장 | 스칼라장 |
curl | 벡터장 | 벡터장 |
Q: 그럼 스칼라장을 스칼라장으로 만드는 것은? 단순 수치를 더하거나 곱함? or 라플라시안?
직각좌표계 | |||
원통좌표계 | |||
구면좌표계 |
dr에 뭔가 곱해지는 것이 있으면 ∇에는 같은 것을 나누는 것이 있음
grad, div, curl을 직각좌표계로 대표하기(? 표현하기?)
ALSOIN 좌표계, 델,del,나블라,nabla
CHK; from https://www.youtube.com/watch?v=Sa7xDuWEvZ4 스토크스 정리와 다이버젠스 정리 2분 (차동우)
grad | |
div | |
curl |
ALSOIN 좌표계, 델,del,나블라,nabla
CHK; from https://www.youtube.com/watch?v=Sa7xDuWEvZ4 스토크스 정리와 다이버젠스 정리 2분 (차동우)
14. curl(grad(f))=0 ¶
divergence와 curl의 성질
가 연속된 2계편미분을 가지면,
the curl of its gradient is the zero vector
curl(grad(f))=0̅
the curl of any conservative vector field is zero (vector?)curl(F)=0̅
왜냐? conservative라는 것 자체가 위에서 를 뜻하므로.15. div(curl(F))=0 ¶
(아마 여기도 조건이 .. 가 연속된 2계편미분을 가지면,)
the divergence of a curl is zero
증명: (위와 마찬가지) 연속이면 미분 순서가 중요하지 않아서 다 cancel되어 (Clairaut's thm) 값이 0이 됨.
(src 12:36)
17. div, grad, curl, and all that ¶
Divergence Theorem
Stokes' Theorem
Identities Involving the Operator ∇* (이하 에 벡터 표시 생략)
(????)
는 위치의 스칼라 함수이고 는 위치의 벡터 함수.
(????)
(div, grad, curl, and all that 4e 책의 맨 앞)
19. Further Ref / Twins ¶
벡터_미적분학
Vector_calculus
수학백과: 벡터해석
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Vector_calculus
Vector_calculus
수학백과: 벡터해석
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Vector_calculus
"An obsolete name … 벡터대수학vector_algebra{ https://encyclopediaofmath.org/wiki/Vector_algebra }, 벡터해석학vector_analysis{ https://encyclopediaofmath.org/wiki/Vector_analysis }로 구성... "
grad, div, curl, laplacian은 연산자,operator? 미분연산자? 미분연산자,differentiation_operator 와는 관계 없음?델 연산자가 포함된 곱셈 규칙 product rule with del operator
https://freshrimpsushi.github.io/posts/product-rule-with-del-operator/
https://freshrimpsushi.github.io/posts/product-rule-with-del-operator/
https://ghebook.blogspot.com/2010/07/vector.html
https://ghebook.blogspot.com/2010/08/vector-identity.html
and
https://ghebook.blogspot.com/2020/07/vector-calculus.html
https://ghebook.blogspot.com/2010/08/vector-identity.html
and
https://ghebook.blogspot.com/2020/07/vector-calculus.html
Video
Dr. Bazett, Calculus IV: Vector Calculus
https://www.youtube.com/playlist?list=PLHXZ9OQGMqxfW0GMqeUE1bLKaYor6kbHa
Dr. Bazett, Calculus IV: Vector Calculus
https://www.youtube.com/playlist?list=PLHXZ9OQGMqxfW0GMqeUE1bLKaYor6kbHa