곡선,curve


curved* (such as curved line / curved surface / etc.)
KmsE:curved (x 2024-10-13)

chk, 내생각, tmp
{
QQQ: 곡선은 1차원, 곡면은 2차원, 계속 확장 가능? 곡부피(?)는 3차원, (?)은 (??)차원, ... (???)

곡선을 알파벳 하나로 나타낼 때 보통 함수 $C:[a,b]\to\mathbb{R}^n$ 으로 하는 것 같은데[1] 대문자함수이름 C ...?

평면곡선은 parameter $t$ 에 대해 $t\mapsto(x(t),y(t))$ 로 볼 수 있는데 이게 정의? (이희원) Or, 매개곡선,parametric_curve(rel. 매개변수방정식,parametric_equation) only? 아님 이게 일반적이므로 이게 정의로 적당한..?
매개변수,parameter $t\in I$
구간,interval $I$
점,point $(x,y)$
}

$C^1$ 조각마다 매끄러운 곡선

닫힌곡선,closed_curve
{
닫힌곡선, 폐곡선, closed curve

연필을 떼지 않고 한번에 그릴 때 시작-끝 점이 같음, i.e. 시점과 종점이 일치

곡선의 시점과 종점이 같을 경우, 즉 $\vec{r}(b)=\vec{r}(a)$ 인 곡선을 닫힌곡선(closed curve)이라 한다. (Stewart)



곡선,curve closedness ?
}

단일곡선,simple_curve ... 2022-07-12 : 단순곡선,simple_curve으로 작성중 ... 단일은 double 그 이상이 아닌 'single'에 더 어울리는 듯, '스스로 교차하지 않음'이라는 뜻에 잘 어울리지는 않는 듯?
{
simple curve
같은 점을 두 번 이상 지나지 않음 i.e. 교차하지 않음
(Kreyszig 번역판:) 중복점(multiple point)이 없는 곡선, 즉 자신과 교차하거나 접하는 점이 없는 곡선을 단순곡선(simple curve)이라 한다. 원이나 나선은 단순곡선이다.
https://mathworld.wolfram.com/SimpleCurve.html
}

단일폐곡선,simple_closed_curve ... 단순닫힌곡선 ?
{
simple closed curve
폐곡선 ∩ 단일곡선
closed_curve ∩ simple_curve
원과 위상동형(homeomorphic) - see 위상동형사상,homeomorphism
Examples: 원,circle, 타원,ellipse,

WpKo:단일폐곡선
}
//위아래 같은건지? chk - yes. via [https]두산백과 단일폐곡선
조르당_곡선,Jordan_curve
{
Jordan curve
평면,plane에 있는 곡선으로 안과 밖을 둘,2로 구분/이분한다(분할,partition > 이분,bipartition).





원뿔곡선,conic_section (=이차곡선,quadratic_curve? 아님 그 일종?)
포물선,parabola
쌍곡선,hyperbola
원,circle
타원,ellipse
호,arc
사이클로이드,cycloid
에피사이클로이드,epicycloid
하이포사이클로이드,hypocycloid
현수선,catenary
심장형 cardioid (writing)
astroid (writing)
astroid = hypocycloid of four cusps - ex. $x=4\cos^3\theta,\;y=4\sin^3\theta$ (Stewart 9e 10.2 바로 앞)
렘니스케이트,lemniscate
{
[https]수학백과: 렘니스케이트
이것은 Cassini_oval([https]수학백과: 카시니 난형선 or 카시니 타원 { 두 정점까지의 거리의 곱이 일정한 점들의 집합 } 의 특수한 경우.
WpEn:Lemniscate
WpKo:렘니스케이트
}
devil's curve
kampyle of Eudoxus
Tschirnhausen cubic
타원곡선,elliptic_curve
나선,helix
{
Ex. 원나선(circular helix)
$x=\cos t, \ y=\sin t, \ z=t$

영어 발음 헬릭스가 아닌 힐릭스.
}
,spiral - 이것도 나선으로 번역되는 일이 자주 (eg kms [https]https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=spiral)
{
The Hypnotic World of Degenerate Spirals
https://www.dogatekin.com/blog/hypnotic-degenerate-spirals/
https://news.ycombinator.com/item?id=27097719


AKA 스파이럴
}
// wpko에선 각각 spiral은 와선, helix는 나선으로 번역.
// spiral WpEn:Spiral WpKo:와선 (소용돌이선, 달팽이선) - nautilus, ...
// helix WpEn:Helix WpKo:나선 - double helix는 DNA에서, ...
데카르트의 엽선 folium of Descartes
$x^3+y^3-9xy=0$
etc.


분류를 해야 하는데.
매개곡선,parametric_curve (매개변수곡선) - 관련: 매개변수방정식,parametric_equation
conchoids of Nicomedes
극곡선,polar_curve - 관련: 극방정식,polar_equation
limaçon $r=b+a\cos\theta$
ovals of Cassini

평면,plane상의 곡선: 평면곡선(plane curve)
평면상에 있지 않은 곡선: 뒤틀린 곡선(twisted curve)



[edit]

1. 관련 또는 주제

곡선 관련 개념, 혹은 곡선에 대한 주제들(topics)

곡률,curvature: 휘어진 정도
// 먼저 접촉원(osculating circle)을 정의.

점근선,asymptote은 (대개?항상?) 직선,line이며 어떤 곡선이 여기에 갈수록 가까워지지만 닿지는 않는 그런 형태가 많던데...

,torsion
{
비틀림, 꼬임

kms torsion : https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=torsion
{2023-12-18 "torsion : 비틀림(률), 꼬임(률)"}

// 먼저 접촉평면,osculating_plane을 정의.
.. tbw





경로,path: 실수 구간,interval을
평면,plane이나 공간,space으로 매핑하는 함수? CHK
곡선,curve에 시점, 종점을 잡고 방향을 부여한 것??

궤적,trajectory
{
위상평면,phase_plane을 식(매개변수방정식,parametric_equation)의 궤적들로 채우면, 식의 위상투영(phase portrait)을 얻는다.
궤적과 비슷한 표현은 궤도,orbit, 경로,path.
(Kreyszig 10e 4.3 위상평면법)

mklink
자취,trace도 비슷한 말로 보이는데, 같은가? 차이가 있다면? Google:trajectory vs trace
}

Frenet_frame,프레네_틀 - Frenet-Serret,TNB에 작성중
{
TNB frame이랑 동의어인가? chk
TNB_vector
WpKo:프레네-세레_공식
WpEn:Frenet–Serret_formulas

이런 것들이 다 같은 말을 하고 있는듯 chk

대충, 3D에서 곡률(곡률,curvature, 얼마나 curvy)뿐만 아니라 (얼마나 구불구불한지 twisty)를 측정하는 그런 개념?
from https://youtu.be/gsUgDpGWk-M 5분쯤

여기서 torsion 개념이 나온다.
{
torsion을 kms에서 검색하면 "비틀림(률), 꼬임(률)"
Definition: torsion τ
$-\frac{d\vec{B}}{ds}\cdot\vec{N}=\tau$
τ = 0 : no twisting

κ(curvature) shows how points "curve" in the plane defined by $\vec{T}\text{ & }\vec{N}$
τ(torsion) shows how that plane "twists"

이것만 적었고 나머지는 https://youtu.be/VIqA8U9ozIA (Bazett) 참조. 다시볼것.
}

공간곡선을 다룰 때 세 벡터 T, N, B를 사용한 해석법
AKA 프레네-세레 틀, Frenet-Serret frame, TNB_frame
단위접벡터,unit_tangent_vector $\vec{T}=\frac{d\vec{r}}{ds}$
단위법선벡터,unit_normal_vector $\vec{N}=\frac1{\kappa}\frac{d\vec{T}}{ds}$
단위이중법선벡터 unit_binormal_vector $\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}$
from https://suhak.tistory.com/922

벡터,vector페이지에서 "binormal vector" 검색하면 관련 짧은 내용 있음. 저기선 종법선벡터로 번역.
kms 찾아보니 저 단어는 "이중수직벡터", "종법선벡터" 두 결과가 나옴. 즉 통일 안됨.



[edit]

2. 비교

직선,line
직선도 곡률이 ()인 곡선인가? 아님 반대 개념인가?
직선은 곡선의 일종으로, 곡률이 0인 곡선으로 보는 게 타당한 듯.

곡선의 차원,dimension을 확장하면, 곡면,surface

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3. 곡선의 접선(tangent)

곡선 C 위에 정점 P와 이 곡선을 따라 P로 접근하는 점 Q가 있다면, 점 P에서의 접선은, P와 Q를 지나는 직선,line L $(\overleftrightarrow{PQ})$ 의 극한으로 정의.
곡선 C가 $\vec{r}(t)$ 로 표현되고 점 $P,Q$ 가 각각 $t,t+\Delta t$ 에 대응된다면 다음 벡터는 $P,Q$ 를 잇는 직선 L과 같은 방향이다.
$\frac{1}{\Delta t}[\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)]$
$\vec{r}(t)$ 가 미분가능하다고 가정. 그 극한은 도함수
$\vec{r}{}'(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)}{\Delta t}$
가 된다. 만약 $\vec{r}{}'(t)\ne 0$ 이면 $\vec{r}{}'(t)$ 를 P에서 C의 접선벡터(see 접벡터,tangent_vector)라고 한다. 여기에 대응하는 단위벡터,unit_vector
$\vec{u}=\frac{1}{|\vec{r}{}'|}\vec{r}{}'$
를 단위접벡터,unit_tangent_vector라 한다.
(Kreyszig 10e 9.5)


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4. 곡선의_길이 curve length ... = arclength arc_length

구간 $[a,b]$ 에서 $f'$ 이 연속이면, $a\le x\le b$ 에서 곡선 $y=f(x)$ 의 길이는
$\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$

곡선 C가 $a\le t\le b$ 에 대해 $x=f(t),\,y=g(t)$ 로 매개화되었고 $f(t)$ 와 $g(t)$ 는 연속인 미분계수를 갖는다고 하면 곡선 C의 길이는
$\int_a^b\sqrt{(f'(t))^2+(g'(t))^2}dt$

곡선의 길이 (Ivan)

$y=f(x)$ 의 $x\in[a,b]$ 사이에서 곡선의 길이는?
곡선의 각 조각은 피타고라스정리에 의해
$d\ell=\sqrt{dx^2+dy^2}$
이고 곡선의 길이는
$\ell=\int d\ell=\int\sqrt{dx^2+dy^2}$
$=\int\sqrt{\left(1+\frac{dy^2}{dx^2}\right)dx^2}$
$=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$
곡선 $C:\vec{r}(t)=(x(t),\ y(t),\ z(t))$ 에서 구간 $a\le t\le b$ 에 대응하는 곡선의 길이를 구해 보자.
구간 $[a,\ b]$ 의 분할 $a=t_0<t_1<t_2<\cdots<t_n=b$ 에 대응하는 곡선 위의 점을 $P_i=\vec{r}(t_i)=(x(t_i),\ y(t_i),\ z(t_i))$ 라고 하자.
현 $\overline{P_{i-1}P_i}$ 의 길이를 $l_i$ 라고 하자.

곡선 C의 길이 L은 다음과 같다.

$L=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}l_i$
$=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\overline{P_{i-1}P_i}$
$=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}|\vec{r}(t_i)-\vec{r}(t_{i-1})|$
$=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2+(\Delta z_i)^2}$
$=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\left(\frac{\Delta x_i}{\Delta t}\right)^2+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta t}\right)^2+\left(\frac{\Delta z_i}{\Delta t}\right)^2}\Delta t$
$=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt$
$=\int_{a}^{b}\left|\frac{d\vec{r}}{dt}\right|dt$
$=\int_{a}^{b}\sqrt{(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2}$
또는
$L=\int_{a}^{b}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}dt$
$=\int_{a}^{b}\sqrt{\vec{r}'(t)\cdot\vec{r}'(t)}dt$
$=\int_{a}^{b}\left|\vec{r}'(t)\right|dt$

(경문사 이공계대학수학 p386)


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4.1. arc length


$\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+[f'(x)]^2}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$
: 미분,differentiation of arc length

$ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$
: 미분,differential of arc length

see also 호,arc, 호길이,arclength

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5. Bezier curve

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6. Lissajous curve

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7. parametrized_curve

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8. 공간곡선 space curve

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9. curve fitting, regression에서 말하는 curves

curve_fitting (즉 rel. 보간,interpolation, 보외,extrapolation, 예측,prediction, 회귀,regression)
에서 다루는 곡선들을 회귀곡선,regression_curve이라 하고
이런 곡선을 찾는 과정을 회귀분석,regression_analysis이라 한다.
보통 least_squares가 많이 쓰이는 방법.

회귀곡선들에는 이런 게 있다.

직선,line
polynomial_curve - rel. 다항식,polynomial
quadratic_curve $y=ax^2+bx+c$
power_curve $y=ax^b$ ... b가 자연수이면 polynomial_curve에 속하는건지?
exponential_curve $y=ae^{bx}$
etc

(Thomas 11e p64)

방법은 observed data(scatterplot으로 나타냄)에서 그것을 식,expression이 간단하면서도 가능한 한 잘 들어맞는 매끈한 곡선의 방정식(regression_equation)을 얻어내는? 그래서 그것을 (현상을 설명해주는) model로 삼는? - CHK

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10. 곡선의 에너지


QQQ 이름이 이렇게 지어진 이유? 물리의 에너지와 구체적으로 어떤 관련이 ...

// from 김홍종 미적1+ p331 (9장 곡선 4절 재매개화 연습문제 중)
{
곡선 $X:[a,b]\to\mathbb{R}^n$ 의 에너지는
$E(X):=\frac12 \int_a^b |X'(t)|^2 dt$
로 정의한다.
}
Google:energy of curve

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11. Links ko

주제는 그린_정리,Green_theorem인데, 먼저 곡선에 대해 여러 가지를 설명함.
https://mathphysics.tistory.com/507

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12. Links en

3DXM Plane Curve Gallery
http://virtualmathmuseum.org/Curves/index.html
여러 곡선 갤러리 (interactive, javascript, animated)

mathematical curves (2013)
a collection of 939 two-dimensional mathematical curves
https://www.2dcurves.com/

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13. 물리학쪽의 곡선

등시곡선 tautochrone
Srch:tautochrone

사이클로이드,cycloid가 여기 속함.
QQQ 또 뭐가 있지?

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14. 수학/물리학 밖의 곡선


기계학습,machine_learning쪽에서 이진분류기 binary_classifier 이진분류,binary_classification 성능 측정 관련인
ROC곡선,ROC_curve


비슷한? :
contour
윤곽, 윤곽선(contour line), (syn. 외형, 가장자리).
등고선.
contour integral = 경로적분,contour_integral.

KWs: arc length, 호의 길이, 현의 길이, line element(선소)


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