벡터장은 함수
특히 3차원 벡터장이... tbw: 차원에 따른 분류. / 2D/3D에서 각각 성립하는 것들 section별로. .....
D를
의 부분집합(평면영역)이라 하자.
에서의
벡터장은 D에 속하는 각 점
에 대해 벡터
를 대응시키는 함수
이다.
벡터장을 그리는 가장 좋은 방법은 점
를 시점으로 하는 벡터
를 나타내는 화살표를 그리는 것이다. 물론 모든 점에 대해 이것을 그리는 것은 불가능하지만, D에 속하는 몇 개의 대표적인 점에 대해 화살표를 그림으로써
의 적절한
자취,trace를 얻을 수 있다.
이것을 성분함수(component function)
를 이용해서 쓰면
또는 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다.
마찬가지로
에서의
벡터장은
간혹
점,point 를
위치벡터,position_vector 와 동일시하고
대신에
로 쓴다.
그러면
는 벡터
에 대해 벡터
를 대응시키는 함수가 된다.
(Stewart 8e ko p889)
(Zill 6e ko chap9.7 회전과 발산 p635)
(수학백과)
Ex.:
평면,plane이나
공간,space에서 속도장, 전기장, 자기장, ... 이것들은 평면이나 공간의 각
점,vector에
벡터,vector를 대응시켜 표현하는 것.
이렇게 일반 차원
(정확한 뜻? 자연수 차원,dimension?) 유클리드_공간,Euclidean_space 또는 그
부분집합,subset에서
벡터공간,vector_space 로 가는
함수,function가
벡터장이라 할 수 있다.
일반적으로는
미분다양체(= differentiable_manifold = 매끄러운다양체 = smooth_manifold ? 매끄러운_다양체 chk)의 각 점에
접벡터,tangent_vector를 대응시키는
사상,map을 뜻한다.
벡터장이 주어진
다양체,manifold를
동역학계,dynamical_system라고 하기도 한다.
위치벡터장
2D 평면에서 위치벡터장은
3D 공간에서 위치벡터장은
??? 전자는 함수인데 후자 tuple의 뜻 정확히.. 좌표,coordinate?
단위벡터장
CHK
보존벡터장 or 보존적벡터장 (conservative vector field) ¶
(정리)
(
클레로_정리,Clairaut_theorem에 따라서 유도되었음)
가
보존적 벡터장이고
와
는
정의역,domain D에서 연속인 1계 편도함수를 갖는다면 D 전체에서 다음이 성립한다.
이 정리의 역은 특수한 형태의
영역,region에 대해서만 성립한다.
이것을 설명하기 위해 먼저 필요한 개념이
단순곡선,simple_curve, 즉 양 끝점 사이의 어떤 곳에서도 서로 교차하는 점이 없는 곡선이다.
저 위의 정리에서는 열린연결영역이 사용되었는데 다음 정리에서는 더 강한 조건이 필요하다.
평면에서
단순연결영역,simply_connected_region은 D 안에 있는 모든 단순닫힌곡선(simply_closed_curve ?
단순곡선,simple_curve and
닫힌곡선,closed_curve? chk ....
단순닫힌곡선은
가 되지만
일 때
이다. (Stewart 8e ko p909)) 이 D 안에 있는 점만을 둘러싸고 있는
연결영역,connected_region D를 뜻한다.
(직관적으로 말하면, 단순연결영역은 구멍을 포함하지 않고 두 부분으로 분리되어 있지 않은 그런 영역)
(정리)
는 열린 단순연결영역 D에서의 벡터장이고,
와
는 연속인 1계 편도함수를 갖고, D에서 다음이 성립한다고 하자.
그러면
는
보존적 벡터장이다.
(Stewart 8e ko p909-910)
벡터장의 분류 (Sadiku 3.9 p95) ¶
∇·
A=0일 때 벡터장
A는 솔레노이드장(또는 비발산장)이라고 한다.
∇×
A=0일 때 벡터장
A는 비회전장(또는 포텐셜)이라고 한다.