공간의 각 점에 벡터,vector를 대응시킨 것.
벡터장은 함수
특히 3차원 벡터장이... tbw: 차원에 따른 분류. / 2D/3D에서 각각 성립하는 것들 section별로. .....
D를 의 부분집합(평면영역)이라 하자.
에서의 벡터장은 D에 속하는 각 점 에 대해 벡터 를 대응시키는 함수 이다.
벡터장을 그리는 가장 좋은 방법은 점 를 시점으로 하는 벡터 를 나타내는 화살표를 그리는 것이다. 물론 모든 점에 대해 이것을 그리는 것은 불가능하지만, D에 속하는 몇 개의 대표적인 점에 대해 화살표를 그림으로써 의 적절한 자취,trace를 얻을 수 있다.
이것을 성분함수(component function) 를 이용해서 쓰면
또는 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다.
마찬가지로 에서의 벡터장은
간혹 점,point 를 위치벡터,position_vector 와 동일시하고 대신에 로 쓴다.
그러면 는 벡터 에 대해 벡터 를 대응시키는 함수가 된다.
에서의 벡터장은 D에 속하는 각 점 에 대해 벡터 를 대응시키는 함수 이다.
벡터장을 그리는 가장 좋은 방법은 점 를 시점으로 하는 벡터 를 나타내는 화살표를 그리는 것이다. 물론 모든 점에 대해 이것을 그리는 것은 불가능하지만, D에 속하는 몇 개의 대표적인 점에 대해 화살표를 그림으로써 의 적절한 자취,trace를 얻을 수 있다.
이것을 성분함수(component function) 를 이용해서 쓰면
그러면 는 벡터 에 대해 벡터 를 대응시키는 함수가 된다.
(Stewart 8e ko p889)
예: 유체,fluid 내의 각 점에서 입자의 속도를 나타내는 속도장,velocity_field, 힘장,force_field( or 역장 or 힘마당. tmp: kps force field: https://www.kps.or.kr/content/voca/search.php?et=en&find_kw=force field )
(Zill 6e ko chap9.7 회전과 발산 p635)
벡터장은 사상,map
that assigns each a vector // i.e.
발산,divergence, 회전,curl 결과를 가지고 유일하게 (구분가능하게) 기술/서술/특정/specify/...가 가능하다? - (rel. 헬름홀츠_정리,Helmholtz_theorem = Helmholtz_decomposition - writing) - chk (MathWorld)
(수학백과)
Ex.: 평면,plane이나 공간,space에서 속도장, 전기장, 자기장, ... 이것들은 평면이나 공간의 각 점,vector에 벡터,vector를 대응시켜 표현하는 것.
이렇게 일반 차원(정확한 뜻? 자연수 차원,dimension?) 유클리드_공간,Euclidean_space 또는 그 부분집합,subset에서 벡터공간,vector_space 로 가는 함수,function가 벡터장이라 할 수 있다.
일반적으로는 미분다양체(= differentiable_manifold = 매끄러운다양체 = smooth_manifold ? 매끄러운_다양체 chk)의 각 점에 접벡터,tangent_vector를 대응시키는 사상,map을 뜻한다.
벡터장이 주어진 다양체,manifold를 동역학계,dynamical_system라고 하기도 한다.
Ex.: 평면,plane이나 공간,space에서 속도장, 전기장, 자기장, ... 이것들은 평면이나 공간의 각 점,vector에 벡터,vector를 대응시켜 표현하는 것.
이렇게 일반 차원(정확한 뜻? 자연수 차원,dimension?) 유클리드_공간,Euclidean_space 또는 그 부분집합,subset에서 벡터공간,vector_space 로 가는 함수,function가 벡터장이라 할 수 있다.
일반적으로는 미분다양체(= differentiable_manifold = 매끄러운다양체 = smooth_manifold ? 매끄러운_다양체 chk)의 각 점에 접벡터,tangent_vector를 대응시키는 사상,map을 뜻한다.
벡터장이 주어진 다양체,manifold를 동역학계,dynamical_system라고 하기도 한다.
위치벡터장
단위벡터장
단위벡터장
벡터장의 flux: see 선속,flux
CHK
는 스칼라 함수
벡터장의 정의는 벡터함수,vector_function의 Thomas Ch11 부분에도 참조할 거리가 있음.
보존벡터장 or 보존적벡터장 (conservative vector field) ¶
mv to conservative_vector_field - ko pagename TBD
CHK
벡터장 F가 어떤 함수 f의 gradient이면 F는 보존벡터장(conservative vector field) { https://math.fandom.com/wiki/Conservative_vector_field } 이고, f는 퍼텐셜함수(potential function)이다. (see 퍼텐셜함수,potential_function)
벡터장 F가 어떤 함수 f의 gradient이면 F는 보존벡터장(conservative vector field) { https://math.fandom.com/wiki/Conservative_vector_field } 이고, f는 퍼텐셜함수(potential function)이다. (see 퍼텐셜함수,potential_function)
벡터장 가 어떤 스칼라함수,scalar_function의 기울기,gradient일 때,
즉 를 만족하는 함수 가 존재할 때,
이 를 보존적 벡터장(conservative vector field)이라 한다.
이 경우에 를 에 대한 퍼텐셜함수,potential_function라 한다.
Ex. 중력장,gravitational_field
(Stewart 8e ko p893)
즉 를 만족하는 함수 가 존재할 때,
이 를 보존적 벡터장(conservative vector field)이라 한다.
이 경우에 를 에 대한 퍼텐셜함수,potential_function라 한다.
Ex. 중력장,gravitational_field
(Stewart 8e ko p893)
(정리)
가 열린 연결영역 D에서 연속인 벡터장이라 하자. // 열린영역,open_region 연결영역,connected_region ... 열린연결영역 open_connected_region ? 연속성,continuity
가 D에서 경로에 독립이면 는 D에서 보존적 벡터장이다. 즉 // path_independence
가 되는 함수 가 존재한다. (이후 책에 증명)
(Stewart 8e ko p908)
가 열린 연결영역 D에서 연속인 벡터장이라 하자. // 열린영역,open_region 연결영역,connected_region ... 열린연결영역 open_connected_region ? 연속성,continuity
(Stewart 8e ko p908)
(정리)
(클레로_정리,Clairaut_theorem에 따라서 유도되었음)
가 보존적 벡터장이고 와 는 정의역,domain D에서 연속인 1계 편도함수를 갖는다면 D 전체에서 다음이 성립한다.
이 정리의 역은 특수한 형태의 영역,region에 대해서만 성립한다.
이것을 설명하기 위해 먼저 필요한 개념이 단순곡선,simple_curve, 즉 양 끝점 사이의 어떤 곳에서도 서로 교차하는 점이 없는 곡선이다.
저 위의 정리에서는 열린연결영역이 사용되었는데 다음 정리에서는 더 강한 조건이 필요하다.
평면에서 단순연결영역,simply_connected_region은 D 안에 있는 모든 단순닫힌곡선(simply_closed_curve ? 단순곡선,simple_curve and 닫힌곡선,closed_curve? chk .... 단순닫힌곡선은 가 되지만 일 때 이다. (Stewart 8e ko p909)) 이 D 안에 있는 점만을 둘러싸고 있는 연결영역,connected_region D를 뜻한다.
(직관적으로 말하면, 단순연결영역은 구멍을 포함하지 않고 두 부분으로 분리되어 있지 않은 그런 영역)
(클레로_정리,Clairaut_theorem에 따라서 유도되었음)
가 보존적 벡터장이고 와 는 정의역,domain D에서 연속인 1계 편도함수를 갖는다면 D 전체에서 다음이 성립한다.
이것을 설명하기 위해 먼저 필요한 개념이 단순곡선,simple_curve, 즉 양 끝점 사이의 어떤 곳에서도 서로 교차하는 점이 없는 곡선이다.
저 위의 정리에서는 열린연결영역이 사용되었는데 다음 정리에서는 더 강한 조건이 필요하다.
평면에서 단순연결영역,simply_connected_region은 D 안에 있는 모든 단순닫힌곡선(simply_closed_curve ? 단순곡선,simple_curve and 닫힌곡선,closed_curve? chk .... 단순닫힌곡선은 가 되지만 일 때 이다. (Stewart 8e ko p909)) 이 D 안에 있는 점만을 둘러싸고 있는 연결영역,connected_region D를 뜻한다.
(직관적으로 말하면, 단순연결영역은 구멍을 포함하지 않고 두 부분으로 분리되어 있지 않은 그런 영역)
(정리)
는 열린 단순연결영역 D에서의 벡터장이고,
와 는 연속인 1계 편도함수를 갖고, D에서 다음이 성립한다고 하자.
그러면 는 보존적 벡터장이다.
는 열린 단순연결영역 D에서의 벡터장이고,
와 는 연속인 1계 편도함수를 갖고, D에서 다음이 성립한다고 하자.
(Stewart 8e ko p909-910)
벡터의 미적분 ¶
vector field의 선적분에 대해:
{
see 선적분,line_integral
http://mathinsight.org/line_integral_vector_field_introduction
}
See also 벡터미적분,vector_calculus
{
see 선적분,line_integral
http://mathinsight.org/line_integral_vector_field_introduction
}
See also 벡터미적분,vector_calculus
Stokes정리 관련 ¶
어떤 벡터장 이든지 임의의 폐곡선 C 를 따라 선적분,line_integral한 값(좌변)은 을 폐곡선 C로 둘러싸인 면 S에서 면적분,surface_integral한 값(우변)과 같다