행렬,matrix

수,number의 직사각형 형태 배열

행렬의 원소,element
main diagonal elements - 주대각선,main_diagonal의 원소들 ... 모두 더하면 합,sum은 대각합,trace
off-diagonal elements - 위의 원소가 아닌 것들

Sub:
기본행연산,elementary_row_operation,ERO
subtopics를 행렬의 연산 / 행렬들 / 행렬관련주제 / ...등으로 분류할 필요 있

단위행렬,unit_matrix $I,\,I_n$ (AKA 항등행렬,identity_matrix)
영행렬,zero_matrix (AKA null matrix) ...null_matrix
모든 성분이 0인 행렬, 기호 O
$O_{m,n}$ 은 m×n 영행렬 표기
어떤 행렬에 영행렬을 곱하면 반드시 영행렬이다.
영행렬이 아닌 행렬들의 곱으로 영행렬을 만들 수 있다. 이 관계가 있을 때 그 행렬들은 영인자(zero divisor)라고 한다. ...영인자,zero_divisor
ex. $\begin{pmatrix}1&0\\3&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
## from https://blog.naver.com/cindyvelyn/222136360080
matlab: zeros(m,n)
비슷한 것으로 일행렬? 원소가 모두 1인 WpEn:Matrix_of_ones aka all-ones_matrix 이 있다. 단위행렬,unit_matrix을 이걸로 부르는 경우도 있으나 단위행렬은 대체적으로 항등행렬,identity_matrix을 뜻한다.
https://mathworld.wolfram.com/ZeroMatrix.html
WpKo:영행렬
WpEn:Zero_matrix
정사각행렬,square_matrix
대각행렬,diagonal_matrix
스칼라행렬,scalar_matrix
주대각선성분이 모두 같은 대각행렬,diagonal_matrix.
정사각행렬,square_matrix에서 주대각원소의 값이 동일한 대각행렬,diagonal_matrix
영행렬도 스칼라행렬의 일종
전치행렬,transpose_matrix AT
역행렬,inverse_matrix A−1
정사각행렬,square_matrix에서만?
가역행렬,invertible_matrix (∃A−1 인 A)
대칭행렬,symmetric_matrix (AT=A 인 A)
반대칭행렬,skew-symmetric_matrix (AT=−A 인 A)
소행렬(minor? minor matrix?)와 여인수행렬,cofactor matrix 에 대해서는 - 여인수,cofactor 참조
딸림행렬,adjoint_matrix (AKA 수반행렬, 여인수행렬의 전치행렬) adj(A)
직교행렬,orthogonal_matrix (AT=A−1 인 A)
치환행렬,permutation_matrix

....

sparse vs dense : 0이 아닌(nonzero) item(entry)들의 비율,rate(혹은 빈도,frequency나 밀도,density?)로 분류한?

sparse matrix 희소 행렬 (kms: sparse matrix = 성긴 행렬, [https]kms spars)
sparse_matrix
{
https://mathworld.wolfram.com/SparseMatrix.html
WpEn:Sparse_matrix
희소성? sparsity := The number of zero-valued elements divided by the total number of elements
Google:sparsity definition
WpKo:희소행렬
}

dense matrix (kms: dense = 조밀한, 촘촘한 - [https]kms dense) 밀집 행렬[1] 밀집행렬 or 조밀행렬[2]

정사각행렬의 특수한 경우로, 주대각선을 기준으로 대각항의 위쪽이나 아래쪽 항들의 값이 모두 0인 행렬

위삼각행렬,upper_triangular_matrix : 주대각선 포함 위쪽으로만 0이 아닌 성분을 가질 수 있으며, 아래쪽으로는 모두 0인 정사각행렬
아래삼각행렬,lower_triangular_matrix : 주대각선 포함 아래쪽으로만 0이 아닌 성분을 가질 수 있으며, 위쪽으로는 모두 0인 정사각행렬

삼각행렬(triangular matrix)
상삼각행렬(upper triangular matrix) U 주대각선성분 아래의 성분이 모두 0인 정사각행렬
하삼각행렬(lower triangular matrix) L 주대각선성분 위쪽의 성분이 모두 0인 정사각행렬
행렬을 그 상삼각행렬과 하삼각행렬로 분리하는 것을 LU분해,LU_decomposition라고 한다.

삼각행렬의 행렬식,determinant은 매우 간단하다. 주대각선성분의 곱과 같다.

위삼각형 형태(upper triangular form) 연립방정식(즉 대응하는 계수행렬이 위삼각행렬)은 후치환(back substitution)으로 풀 수 있다. 따라서, 어떤 연립방정식을 위삼각형 형태로 변환하면 쉽게 풀린다.

Definite가 이름에 들어가는 matrix, WpEn:Definiteness_of_a_matrix

WpKo:정부호_행렬
at 2021-05-28:
AKA 정치 행렬
에르미트_행렬,Hermitian_matrix의 일종. 그래서 고유값,eigenvalue이 실수이다. 그 부호에 따라 다음과 같이 분류.
양의 준정부호 행렬 positive semi-definite matrix
양의 정부호 행렬 positive definite matrix
음의 준정부호 행렬 negative semi-definite matrix
음의 정부호 행렬 negative definite matrix
부정부호 행렬 indefinite matrix

WpEn:Definite_matrix
positive-definite
positive semi-definite or non-negative-definite
negative-definite
negative semi-definite or non-positive-definite
indefinite

tmp links ko
https://m.blog.naver.com/sw4r/221495616715

(참고, [http]kms positive definite at 2021-05-28:
positive definite 양의 정부호
positive definite form 양의 정부호형식
positive definite function 양의 정부호함수
positive definite generalized function 양의 정부호초함수
positive definite generalized kernel 양의 정부호초핵
positive definite matrix 양의 정부호행렬
positive definite quadratic form 양의 정부호를 가진 이차형식
positive definiteness 양의 정부호성
semi positive definiteness 준 양부호성)
실수행렬 real_matrix =실행렬?
복소수행렬 complex_matrix =복소행렬?
켤레복소수 관련
(먼저 표기법: 행렬 위 bar는 각 성분을 켤레복소수,complex_conjugate로 대치한 행렬을 뜻함)
정사각행렬 $A=[a_{jk}]$ 에 대해
A̅T=A 이면, 즉 a̅kj=ajk 이면 에르미트 행렬(Hermitian matrix)
A̅T=-A 이면, 즉 a̅kj=-ajk 이면 반에르미트 행렬(skew-Hermitian matrix)
A̅=A-1 이면, 유니타리행렬(unitary matrix)
고유값,eigenvalue 관련.
에르미트 행렬의 (따라서 대칭행렬,symmetric_matrix의) 고유값은 실수.
반에르미트 행렬의 (따라서 반대칭행렬,skew-symmetric_matrix의) 고유값은 순허수이거나 0.
유니타리행렬의 (따라서 직교행렬,orthogonal_matrix의) 고유값의 절대값은 1.
(Kreyszig)
.....
complex_conjugate_matrix(writing) Ā or A*
Hermitian_conjugate_matrix AH
에르미트_행렬,Hermitian_matrix
.....
유니터리행렬,unitary_matrix
확률행렬,stochastic_matrix
{
모든 성분이 음이 아니고 열의 합이 모두 1인 정사각행렬.

ex.
$\begin{bmatrix}0.7 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.9 & 0.2 \\ 0.1 & 0 & 0.8 \end{bmatrix}$
(Kreyszig 10e p332)
}

멱등행렬,idempotent_matrix
{
A2=A 를 만족하는 행렬. (A?)
(Kreyszig 연습문제 7.2 7.)



멱영행렬,nilpotent_matrix
{
어떤 자연수 m에 대해 Bm=O을 만족하는 행렬.
(Kreyszig 연습문제 7.2 8.)

// mathworld
정사각행렬,square_matrix이며, 고유값,eigenvalues들이 모두 0인 행렬.





아다마르_행렬,Hadamard_matrix
{
기호 $H$
$HH^t=nI_n$
$n\times n$ 아다마르 행렬은 전치와의 곱이 $nI$ 가 되는 행렬? chk
모든 성분이 ±1이고 행벡터들과 열벡터들이 각각 서로 직교하는 정사각 행렬 - wpko, chk
행렬식,determinant 값이 정확히 $n^{n/2}$

links:
[https]365일 수학: 28차 아다마르 행렬 - 아다마르_정리



계수행렬,coefficient_matrix
페이지 만들기에는 너무 쉬운 개념인가??

첨가행렬,augmented_matrix - writing

위 둘은 선형방정식계 = 연립일차방정식,system_of_linear_equations의 행렬 표기와 밀접.

ex.
연립일차방정식,system_of_linear_equations
$\begin{align}2x-y&=5\\x+2y&=-5\end{align}$
에서
계수행렬:
$\left[\begin{array}{rr}2&-1\\1&2\end{array}\right]$
첨가행렬:
$\left[\begin{array}{rr|r}2&-1&5\\1&2&-5\end{array}\right]$
이다.

// 사다리, ref, echelon 관련
사다리꼴행렬 echelon form matrix
=행사다리꼴행렬(row echelon form matrix)? Sub?
Q: 열사다리꼴행렬도 있나?
{
특징
  • 영행이 있다면 그 행은 영행이 아닌 행의 아래에 있다.
  • 영행이 아닌 행의 첫번째 0이 아닌 성분을 그 행의 선도원소(leading entry)라 한다.
  • 어떤 열의 선도원소 아래에 있는 원소는 전부 0이다.
그리하여, 모든 성분이 0인 행은 맨 아래에 있어야 함.

기약행사다리꼴행렬:
사다리꼴 행렬에서 다음 두 조건을 더 만족해야 함
사다리꼴 행렬 중 다음 조건을 만족하는 행렬이 '기약 사다리꼴 행렬'.
  • 영행이 아닌 행의 선도원소가 1이다.
  • 선도원소가 있는 열의 (그 1을 제외한) 나머지 원소가 모두 0이다.

// tmp from http://blog.naver.com/mykepzzang/220984922074
}

행사다리꼴행렬 중, 다음 조건도 만족하면,
기약행사다리꼴 또는 행 간소 사다리꼴(reduced row echelon form, RREF) 이라 함.
  • leading entry가 1. (여기서 기약행사다리꼴의 leading entry를 leading one이라 함)
  • leading one과 같은 열에 있는 ('다른', 즉 'leading one을 제외한'이 여기 생략?) 성분은 모두 0.
// tmp from namu 행사다리꼴. chk and cleanup.


기타 그래프 표현방법엔 adjacency_list adjacency_map이 있음. - see Principles of Algorithmic Problem Solving 6.4



(tmp)
incidence_matrix, degree_matrix, adjacency_matrix 비교: https://m.blog.naver.com/skkong89/222068556120

변환,transformation에 쓰이는 행렬은 변환행렬,transformation_matrix.
밑에 '행렬과 일차변환'도 참고...



block_matrix - 블럭행렬 블록행렬 ? 쉬운개념임. see https://mathworld.wolfram.com/BlockMatrix.html




[edit]

1. 여러 행렬 관련 주제


행렬의 크기(size):
m×n행렬은 m개의 행과 n개의 열을 가짐
가로줄: 행,row
세로줄: 열,column
행과 열의 수가 같으면 정방행렬/정사각행렬(square matrix)

2021-06-21 - 행과 열 이런 것들이 이름에 나타나는 것들 종합? 벡터,vector and 공간,space....
행,row
열,column
행벡터,row_vector
열벡터,column_vector
행공간,row_space
열공간,column_space
2021-06-22 - 위의 내용중 몇가지(행공간,열공간), 그리고 영공간,null_space, 이런 부분공간,subspace들에 대해 '[https]4개 주요 부분 공간의 관계'에서 설명함.
see also 부분공간,subspace#s-3.3... 아니 이뿐만 아니라 페이지 전체. 이 내용들은 해,solution와도 밀접함.

벡터,vector - 행렬의 한 행(행벡터)나 열(열벡터)인 ..?
$m\times n$ 행렬에서 $m=1\textrm{ or }n=1$ 인 경우 벡터.
행벡터(row vector)
열벡터(column vector)
//QQQ 이 둘 사이의 변환이 전치,transpose? 관련: 전치행렬,transposed_matrix? chk
$1\times n$ 행렬 ≡ $n$ 차원 행벡터,row_vector.
$m\times 1$ 행렬 ≡ $m$ 차원 열벡터,column_vector.
(or 전치,transposition? chkout WtEn:transposition WtEn:transpose ...)
(전치는 벡터 행렬에 모두 적용되는 개념? chk Ndict:전치 )

행렬을 행벡터의 모임 혹은 열벡터의 모임으로 생각할 수 있음.
2차원인 행렬 원소를 1차원으로 어떻게 (놓을?번호를 붙일?나열할?기억장치에 저장할?) 건지에 따라 두 경우 방법이 있음
행 우선 순서(row-major order)
열 우선 순서(column-major order)
(maybe rel 배열,array and memory_layout on 메모리,memory)


성분(entry)
표기 관례: 행렬 이름은 대문자로, 그 성분 이름은 해당하는 소문자 밑에 첨자를 붙여서 (eg. 행렬 A의 1행 2열 성분은 a12) 표기하는 경우가 많음
ex. A의 (i, j) 성분을 aij로 표시
한 행렬의 i행과 j열의 교차점에 있는 성분을 그 행렬의 $(i, j)$ 성분이라 하고 $a_{ij}$ 로 나타냄.
leading entry
leftmost nonzero entry (in a nonzero row)
주대각선성분(main diagonal entries)
n차 정사각행렬 A의 성분 a11, a22, … ann을 A의 주대각선성분이라 함.
또는 주대각원소(main diagonal).
정사각행렬에서만 존재.
AKA 원

행렬의 같은 꼴 / 동형
행의 수와 열의 수가 각각 같음. 둘 다 m×n행렬.

행렬의 같음 / 상등
⑴ 같은 꼴이고, ⑵ 대응하는 성분이 모두 같을 때
상등이다 또는 같다고 함.

행렬의 합/차/실수배
합/차는 같은 꼴일 때만. 기타 생략.





계수,rank 랭크

추축,pivot 피벗
각 행,row에서 0이 아닌 처음 나타나는 수?

여인수,cofactor (=여인자)
여인수전개,cofactor_expansion
{
AKA 여인자전개
}



크라메르_공식,Cramer_s_rule
{
대략 행렬식,determinant 나누기 행렬식이 나오는 것은 많이 봤는데...알고리듬이 비효율적이라는 얘기도 들어보고.

chk: 열을 하나씩 바꿔가면서 일일히 행렬식을 구해줘야 해서 그런가?

from http://blog.naver.com/mykepzzang/221085691637 CHK
{
$AX=B$ 즉
$\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ &\vdots& \\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1\\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}$
계수행렬 A가 가역이면 (즉 $|A|\ne0$ 이면)
주어진 방정식은 유일한 해를 가지며 그 해는
$x_1=\frac{|A_1|}{|A|},x_2=\frac{|A_2|}{|A|},\cdots,x_n=\frac{|A_n|}{|A|}$
이다. 여기서 $A_j$ 는 계수행렬 A의 j열 성분을(j열을?) 행렬
$B=\begin{bmatrix} b_1\\b_2\\ \vdots \\b_n\end{bmatrix}$
로 바꾼(교체한) 행렬이다.
}

AKA 크래머 공식





[edit]

2. 용어, 단어

이하 Kreyszig
{
성분 entry
(Kreyszig 번역판에선
Ch4. 행렬은 성분(entry), 벡터는 성분(component)인데 두 단어가 실제 저렇게 다른가?
Ch7 p316 행렬은 성분(entry) 혹은 원소(element)
)
행 row
열 column
주대각성 main diagonal
정칙 nonsingular
특이 singular

}
[edit]

3. 페이지만들예정

[edit]

4. 이하 연산들

합, 차, 스칼라배(scalar multiple)는 생략 (trivial)

matrix_addition - 덧셈,addition
matrix_subtraction - 뺄셈,subtraction 이것들은 elementwise addition/subtraction.
scalar_multiplication? ~= 상수배?

[edit]

5. 연산: 곱

두 행렬을 행렬 곱셈(matrix multiplication)하여 한 행렬을 만들어 내는 연산. 결과는 행렬곱(matrix product).

조건:
첫 행렬의 열 수 = 두번째 행렬의 행 수

결합법칙,associativity 성립
(AB)C 는 괄호 없이 ABC로, AA...A를 An으로 표기 가능.

교환법칙,commutativity 성립하지 않음. 비가환적(not commutative).
AB ≠ BA

단위행렬,unit_matrix이 항등원,identity_element 역할을 함.





성질
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC - 곱셈의 분배법칙 성립
A(BC)=(AB)C - 곱셈의 결합법칙 성립
k(AB)=(kA)B=A(kB)

(정석)

A가 l×m행렬, B가 m×n행렬이면
AB는 l×n행렬이 되고
AB의 (i, j) 성분은 A의 제 i 행벡터와 B의 제 j열벡터의 내적. CHK
곱의 성질
AO=OA=O
'AB=O'가 'A=O 또는 B=O'를 뜻하지는 않음.
A≠O, B≠O임에도 AB=O인 행렬 A, B가 있을 수 있음.
행렬 곱셈의 기본법칙
AB≠BA
AB=BA인 경우가 절대 없다는 뜻은 아님 (성분에 따라 그런 경우가 있음)
(AB)C=A(BC) 결합법칙
A(B+C)=AB+AC 분배법칙
(A+B)C=AC+BC 분배법칙
(kA)B=A(kB)=k(AB) (k∈ℝ)
행렬의 거듭제곱
A가 정사각행렬일 때
A2=AA, A3=A2A, …, Am=Am-1A
A가 정사각행렬이고 m, n이 자연수일 때
AmAn=Am+n
(Am)n=Amn
(6차 실력정석 수1 p26)
AB=O이라 해서 반드시 BA=O 또는 A=O 또는 B=O을 의미하지 않는다.
(Kreyszig)

[edit]

6. 행렬의 지수/거듭제곱

[edit]

7. 연산: 기본 행 연산 elementary row operations (세가지)

[edit]

8. 연산: 역, inverse

[edit]

9. 연산: 전치,transposition

전치행렬,transpose

표기: 행렬 A의 전치행렬은
AT or At

대칭행렬(symmetric matrix)은 n차 정사각행렬 중 자신의 전치행렬과 같은 행렬을 뜻함. (A=AT일 때 A는 대칭행렬)
대각행렬은 대칭행렬임.
관련: 에르미트_행렬,Hermitian_matrix

행렬의 전치의 성질
  • 크기가 같은 행렬 A, B에 대해, (A+B)T = AT + BT
  • l×m 행렬 A와 m×n행렬 B에 대해, (AB)T = BT AT

A와 B가 다음 연산을 하기에 적절한 크기의 행렬이라고 가정하면,
  • (AT)T = A
  • (A+B)T = AT + BT
  • (rA)T = rAT (for any scalar r)
  • (AB)T = BTAT


misc

한 벡터,vector를 행벡터와 열벡터로 각각 나타내었다면 이것들은 서로 전치 관계.

TeX_및_LaTeX_수식_문법으로는 A^{\top}, A^{\rm T}, A^T ( $A^{\top}, A^{\rm T}, A^T$ ) 등을 쓸 수 있으며 \intercal은 mimeTeX가 지원하지 않음.

비교: 아래 hermitian 연산.

[edit]

10. 연산: Hermitian

전치한 다음 켤레? chk

비교: 바로 위 전치 연산.

[edit]

11. 연산: 공액, 켤레, conjugate

성분이 복소수,complex_number인 경우, 요소들의 공액으로 대치한 행렬
A*

[edit]

12. 연산: 행렬식(determinant)

det(A) or |A|
See 행렬식,determinant



[edit]

13. 연산: 대각합(trace), tr()

$\tr A=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$
tr(A) = a11 + a22 + … + ann
{


트레이스

행렬의 모든 고유값,eigenvalue의 합은 대각합과 같다고.


[edit]

14. 연산: determinant

$\det A$
square matrix에서만?
goto 행렬식,determinant

[edit]

15. 연산 혹은 property: rank

Moved to 계수,rank

[edit]

16. 퇴화차수(nullity) of matrix

단어가 어려운데 그냥 '영공간의 차원'임.

[edit]

17. 정리: rank-nullity theorem (위 두 개 관련)


from [https]차원정리; chk.
{
행벡터로 생성한 벡터공간은 행공간(row space), A의 행공간은 row(A)
열벡터로 생성한 벡터공간은 열공간(column space), A의 열공간은 col(A) 또는 im(A)
이 때
dim(row(A))=dim(col(A)) =rank(A)

행렬 A에 대해 Ax=0의 해 x들을 모은 집합은
벡터공간이 되며 이 공간을 영공간,null_space 또는 핵(kernel)이라 함.
표기는 null(A) or ker(A).

영공간의 차원은 nullity. 표기는 nullity(A).
즉 dim(null(A))=nullity(A).

m×n 행렬 A에 대해, (i.e.)
A가 m×n 행렬일 때,
rank(A)+nullity(A)=n
}

WpKo:계수-퇴화차수_정리
WpEn:Rank–nullity_theorem
... which asserts that the dimension of the domain of a linear map is the sum of its rank (the dimension of its image) and its nullity (the dimension of its kernel)


[edit]

18. 연산: norm

[edit]

19. 연산(은 아닌듯?) : 분해 - 행렬분해 matrix decomposition

matrix_decomposition
WpKo:행렬_분해

LU분해,LU_decomposition
QR분해,QR_decomposition-작성중
고유값분해,eigendecomposition
특이값분해,singular_value_decomposition,SVD
Choleski_decomposition
Cholesky_decomposition
이건 Cholesky 라고도 쓰고 decomposition을 factorization 으로도 씀 암튼 작성중이며 curr see Google:choleski.decomposition Google:cholesky.factorization etc
극분해,polar_decomposition - writing
{
WpKo:극분해 - too hard
WpEn:Polar_decomposition
... Google:polar decomposition Naver:polar decomposition
}
etc.


[edit]

20. 행렬과 일차변환

일차변환은 선형변환,linear_transformation과 같음? - Yes.

x축 대칭은
$\begin{cases}x'=x\\y'=-y\end{cases}$
즉
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
다른 변환을 살펴보면,
y축 대칭이동 행렬은
$\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}$
직선 y=x에 대한 대칭이동 행렬은
$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$
회전은 (회전변환)
$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$
원점과의 거리를 k배 만큼 확대·축소하는 행렬은 (닮음비가 k인 닮음변환)
$\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}$
항등변환: 닮음비가 1인 닮음변환

[edit]

21. 행렬의 크기 또는 절대값

$m\times n$ 행렬 $A=(a_{ij})$ 의 크기 (size보다는 magnitude인가? size라 하면 보통 m과 n을 일컫지 않나?) 또는 절댓값(절대값,absolute_value)을
$|A|:=\sqrt{ \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 } = \sqrt{\text{tr}(A^t A)}$
로 정의한다. 그러므로
$|A|^2 = \text{tr}(A^t A) = \text{tr}(AA^t)$
이다. 예를 들어 항등행렬,identity_matrix $I_n$ 의 절댓값은
$|I_n|=\sqrt{n}$
이다.

Ex. 행렬
$A=\begin{pmatrix}0&1&2\\3&4&5\end{pmatrix}$
에 대하여
$|A|=\sqrt{1+4+9+16+25}=\sqrt{55}$
이다.

(김홍종 미적1+ p243 행렬의 극한)

[edit]

22. TeX의 행렬 관련 문법

행렬 관련 TeX_및_LaTeX_수식_문법
괄호 없음 \begin{matrix} a&b\\c&d \end{matrix} $\begin{matrix} a&b\\c&d \end{matrix}$
bracket \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} $\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix}$
brace \begin{Bmatrix} a&b\\c&d \end{Bmatrix} $\begin{Bmatrix} a&b\\c&d \end{Bmatrix}$
parenthesis \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} $\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$
vertical bars \begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix} $\begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix}$
2 vertical bars \begin{Vmatrix} a&b\\c&d \end{Vmatrix} $\begin{Vmatrix} a&b\\c&d \end{Vmatrix}$

array를 사용한 첨가행렬,augmented_matrix의 예
\left(\begin{array}{cc|c}a&b&c\\d&e&f\end{array}\right)
$\left(\begin{array}{cc|c}a&b&c\\d&e&f\end{array}\right)$
\leftr}a&b&c\\d&e&f\end{array}\right
$\left[\begin{array}{rr|r}a&b&c\\d&e&f\end{array}\right]$

비슷: 표,table



TODO move contents from RR:행렬,matrix
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