vector의 경우 위 둘은 ALWAYS equiv? chk
방향벡터,direction_vector tbw
{
직선,line의
방향벡터.
...직선에 대한
벡터방정식,vector_equation 에서 벡터
를 직선의
방향벡터(direction vector)라 한다.
(Zill 6e ko p427)
}
변위벡터,displacement_vector
위치벡터,position_vector r
단위벡터,unit_vector u, a, e에 아래첨자, 3차원의 경우 각각 i/j/k or x/y/z (위에 ^)
접벡터,tangent_vector T (위에 →)
단위접벡터,unit_tangent_vector T (위에 ^)
법선벡터,normal_vector N, n
단위접벡터 T(s) 라면,
단위법선벡터,unit_normal_vector N(s)=(T'(s))/(|T'(s)|)=sgn(T'(s))
종법선벡터(binormal_vector) B(s)=T(s)×N(s) (이 세 줄:
공간곡선의 Frenet frame(https://namu.wiki/w/%EA%B3%A1%EC%84%A0#s-2.2.4))
기울기벡터,gradient_vector
벡터장,vector_field
벡터함수,vector_function
벡터미적분,vector_calculus
벡터공간,vector_space
방향코사인,direction_cosine
분리벡터,separation_vector
separation vector
separation vector x 2023-12-31
분리 벡터 =
https://namu.wiki/w/분리 벡터 ... "
위치벡터,position_vector에서
source vector 를 뺀 벡터." (Griffiths)
Up:
분리,separation 벡터,vector
유사벡터,pseudovector
이중벡터,bivector
{ w
이중벡터
바이벡터
이중벡터 via
bivector ... or 바이벡터 ?
try
bivector
}
ADDHERE
고딩 레벨에선
스칼라,scalar는 크기만 있는 것,
벡터는 크기 + 방향 (magnitude + direction)이 있는 것으로 설명
여기서 크기+방향은
(x, y) 좌표를 쓰기도 하고, (두 수 모두 크기와 방향을 나타냄)
(r, θ) 극좌표를 쓰기도 함 (r은 크기, θ는
방향,direction)
의 크기를
, 방향을
로 나타내기도.
의 magnitude를
direction을 unit vector
로 하면
이렇게 magnitude × direction으로 나타낼 수 있음.
(Ulaby)
두
점,point을 통해서 나타내는 일이 잦음. 시점이 A, 종점이 B인 벡터를
로 나타냄.
따라서 벡터의 합은
가 됨.
표현(representation):
스칼라,scalar가 여러 개 있는 것? 그 수들은
방향수,direction_number?
예를 들어 공간의 각 점에 대한 함수(
장,field)를 다음 두 방식으로 나타낸다.
수학에선
벡터공간,vector_space의
원소,element.
← 벡터의 정의
// from BigBook, DELME - too easy
두 실수의 순서조
를 (평면)
벡터 (vector in plane)라 하고
또는
로 나타낸다. 이 때 실수
를 (평면)
벡터 의 성분(component)이라고 한다.
세 실수의 순서조
를 (공간)벡터(vector in space)라 하고
또는
(마찬가지)
개의 실수의 순서 조
을 n-차원벡터(n-dimensional vector)라 하고
혹은
로 나타냄.
의 벡터
에 대해
을 x의 노름(norm, length, magnitude)이라 한다. (
노름,norm)
두
차원 벡터
이 있을 때
은 두 점
사이의
거리,distance의 정의.
2차원에 표현한 diagram에서, 쓰이는 기호..
U+2299 ⊙ : 뚫고 나옴
U+2297 ⊗ : 뚫고 들어감
3. 예 (여러 벡터, 분류) ¶
zero vector -
영벡터,zero_vector 수학백과: 영벡터(https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405226&cid=47324&categoryId=47324) https://mathworld.wolfram.com/ZeroVector.html
=(0,0,0)
unit vector -
단위벡터,unit_vector
x1=(1,0,0)
x2=(0,1,0)
x3=(0,0,1)
sparse_vector
Sparse vectors are common in ML applications and often require some type of method to deal with them effectively.
src(https://pabloinsente.github.io/intro-linear-algebra)
원소의 대부분이
0인 벡터
rel. sparsity ?
null_vector
그리고 각종 lin alg package/SW/CAS (ex.
넘파이,NumPy)의 해당 문법 언급
Q; 이걸 vector algebra라고 함?
같음(상등, equality), 덧셈, 뺄셈, 실수배는 매우 쉽다. Trivial.
곱셈에 해당하는 것이 여러 가지이다.
나눗셈에 해당하는 것 있나?
심플하게 스칼라곱과 내적, 벡터곱과 외적을 구분하지 않는 설명.
(복습용. 아는 것은 수식/설명 모두 생략하고 생략했다고만 언급.)
스칼라와 벡터의 곱
(앞에서 언급했던가... 아무튼 쉬우므로 언급 x)
두 벡터 (A, B)의 곱셈의 두 형태
스칼라곱 | 스칼라적 | 내적 | A·B | 결과가 스칼라 |
벡터곱 | 벡터적 | 외적 | A×B | 결과가 벡터 |
세 벡터(A, B, C)의 곱셈의 두 형태
스칼라 삼중적 | A·(B×C) | 결과가 스칼라 |
벡터 삼중적 | A×(B×C) | 결과가 벡터 |
See
삼중곱,triple_product
내적
각 성분끼리 곱하는 식 생략.
내적이 0이면 직교인 것 생략.
교환법칙성립, 분배법칙성립 생략.
(스스로를 내적하면 크기 제곱?)
단위벡터 사이의 내적 생략.
외적
여기서
: A와 B를 포함하는 평면에 수직인 단위벡터.
크기는 평행사변형 생략.
방향은 생략(오른손법칙만 알면 되니까).
행렬식 생략.
교환법칙 비성립.
반교환법칙 성립.
결합법칙 비성립.
분배법칙 성립.
등등 생략.
스칼라 삼중적
정의:
순환 순열방식으로 얻어짐. 평행육면체의 체적과 관련.
원문
등등 입력하기 힘들어서 대충 알파벳을 할당해서
이면
벡터 삼중적
정의:
즉 bac-cab 법.
다음 두 식의 차이에 유의.
그러나
(Sadiku 5e 1.7 벡터의 곱셈)
6. 기타 연산 비슷한 것 혹은 transform에 해당하는 것 (연산?) ¶
transform은 수식으로는 (행렬) * (벡터) 곱 형태로 나타남.
7. 분해 (연산?) ¶
벡터를 각 성분(component)으로 분해할 수 있다. 벡터의 성분을 찾는 것을 resolving the vector라고 한다.
일반적으로 벡터는 직각 성분으로(i.e. 서로 직교하는 성분들로) 분해하여 사용하는 것이 편리하다. (Meriam 정역학 p4)
2차원 위의 벡터 A와 B는 이렇게 x, y성분으로 분해하고
합은
를
3차원 TBW
8. 벡터와 각 : 직교, 평행, etc. (연산으로 분류할까?) ¶
| 사잇각 | 내적 | 외적 |
직교, perpendicular, orthogonal | 90° | 0 | |
평행, parallel | 0°, 180° | | 0 |
일치도 평행에 포함?
both vectors are scalars of each other일경우와 동일?
CHK
각,angle
영이 아닌 두 벡터
의 사이각이
- 예각일 필요충분조건은 이다.
- 둔각일 필요충분조건은 이다.
- 직각일 필요충분조건은 이다.
(김홍종 미적1+ p190)
벡터의 나란함과 평행 ...에 대해서 확실히.
QQQ
평행 = 방향까지 같음,
나란함 = 방향이 정반대인 경우까지 포함?
나란함 =
collinear ity 인지?
(김홍종 미적1+ p210)
9. 벡터로 표현한 도형 TOCLEANUP ¶
A를 지나고
에 평행한 직선 위의 점 X가 있을 때, X의 자취의 방정식을 구하는 방법.
따라서,
일 때, A를 지나
에 평행한 직선의 벡터방정식은
(t는 임의의 실수)
마찬가지로, A, B를 지나는 직선 위의 점 X는 다음을 만족한다.
A, B, X의
위치벡터,position_vector를 각각
라고 하면
이것이 두 점 A, B를 지나는 직선의 벡터방정식이다.
점 A(x₁,y₁)을 지나고 벡터
에 평행한 직선의 방정식은
두 점 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)를 지나는 직선의 방정식은
점
을 지나고 영벡터가 아닌 벡터
에 수직인 직선 g의 방정식을 구하는 과정:
A의 위치벡터를
, g 위의 임의의 한 점 P의 위치벡터를
라 하면
이때
를 g의 법선벡터라고 한다.
이름이 v일 때
italic, arrow:
(\vec)
고등학교 교재는 이 표기법만 사용하는 듯
non-italic boldface:
MimeTeX가 지원 안함, 일단 mathbf로 써 보면
(\mathbf)
이 때는 italic을 적용시키지 않는 것 같기도 한데... 예를 들어
중에서 세번째.
italic, hat:
(\hat) (단위벡터)
벡터 표시를 하지 않은 그냥 문자가 그 벡터의 크기를 의미하는 표기법도 자주 쓰임
예를 들면
앞뒤 감싸는 기호
parenthesis (…)
bracket […]
\langle ... \rangle
(이상 comma 사용)
row_vector
column_vector (이상 comma 안씀)
또 있나?
이나
으로 둘러싸면 norm, 크기 -
노름,norm
유향선분
{
directed line segment??
둘의 차이점은, 벡터는 절대적 위치가 아무 상관없고, 유향선분은 절대적 위치가 의미있는(중요한) ...?
collinear
동일 선상의, along the same straight line
같은 방향이거나 반대 방향 (either in the same or in opposite directions)
직교벡터 orthogonal vectors
서로 직교하는 벡터 둘
정규직교벡터 orthonormal vectors
13. 벡터의 삼각부등식 ¶
의 벡터
에 대해
단 등호는
중 하나가 다른 것의
배일 때만 성립.
16. tmp; Sadiku 5e 1.7-1.9 ¶
17. 벡터의 공변성과 반변성 - covariance and contravariance ¶
단어/표현
반변적인 contravariant
반변벡터 contravariant_vector - 이것을 보통 벡터라고 한다? (ghebook)
공변적인 covariant
공변벡터 convariant_vector AKA 코벡터 covector
공변벡터는 다른 말로
미분형식,differential_form 또는 1차형식(one-form) (ghebook)
18. 수학/물리 바깥에서 단어 vector의 쓰임 ¶
상위:
Compare - 벡터와 대조/대비되는 것: